Question

13．弹簧在不受作用力时所具有的长度称为自然长度记为l₀；弹簧受到拉力作用后会伸长，受到压力作用后会缩短，如果受力作用时的长度称为实际长度，记为l；而l与l₀之差的绝对值称为形变量，记为x，x=|l-l₀|，有一弹簧振子如图甲所示，放在光滑的水平面上，弹簧处于自然长度时M静止在O位置，一质量为 m=20g的子弹，以一定的初速度v₀射入质量为M=1980g的物块中，并留在其中一起压缩弹簧，振子在振动的整个过程中，弹簧的弹性势能随弹簧的形变量变化的关系如图乙所示，则
（1）根据图线可以看出，M被子弹击中后将在O点附近振动的振幅为多大？?
（2）子弹的初速度v₀为多大？?
（3）当M运动到O点左边离O点2cm的A点处时，速度u多大？?
（4）现若水平面粗糙，上述子弹击中M后同样从O点运动到A点时，振子的速度变为3m/s，则M从开始运动到A点的过程中，地面的摩擦力对M做了多少功？弹簧的弹力对M做了多少功？

Answer 1

分析 （1）从图中可以看出当x=4cm时，弹簧的弹性势能最大，此时速度为0，即可求得振幅；
（2）子弹和物块一起压缩弹簧的过程中系统机械能守恒，求出刚射入时的共同速度，子弹射入物块时间极短，瞬间子弹、物块组成的系统动量守恒，根据动量守恒即可求解；
（3）从图线可以看出：M运动到O点左边2cm处时的弹性势力能为E_P=4J，子弹和物块一起压缩弹簧的过程中根据系统机械能守恒求出速度；
（4）根据功能关系及动能定理即可求解．

解答 解：（1）由图象可知振幅为4cm．?
（2）在弹簧被压缩过程中系统机械能守恒，有：
E_km=E_pm=$\frac{1}{2}$（M+m）v²
代入数据解得：v=4m/s?
子弹射入物块时间极短，瞬间子弹、物块组成的系统动量守恒，取向左为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v
代入数据解得：v₀=400m/s
（3）由图线可知，当M运动到O点左边2 cm处时，此时弹性势能为：E_p=4 J?
E_pm=E_p+E_k
又 E_k=$\frac{1}{2}$mu²
代入数据解得：u=2$\sqrt{3}$ m/s?
（4）设地面的摩擦力对M做的功记为W_f，M从开始运动到A点，根据功和能关系有：
W_f=E_k+Ep-E_km=-3 J
设弹簧的弹力对M做的功记为W_f，则由功能关系得：W_f+W_k=$\frac{1}{2}$（M+m）u²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²?
解得弹簧的弹力对M做功为：W_k=-4 J
答：（1）根据图线可以看出，M被子弹击中后将在O点附近振动的振幅为4cm；
（2）子弹的初速度v₀为400 m/s；
（3）当M运动到O点左边离O点2cm的A点处时，速度u为2$\sqrt{3}$m/s；
（4）地面的摩擦力对M做的功为-3J，弹簧的弹力对M做的功为-4J．

点评 解决本题的关键能根据图象有效信息，分析子弹和木块的运动情况，把握能量的转化情况，运用机械能守恒定律、动量守恒定律及动能定理研究．