Question

2．如图（a）所示，在光滑绝缘水平面固定放置一带正电的长直细棒，其周围产生垂直于带电细棒的辐射状电场，场强大小E与距细棒的垂直r距离的关系如图（b）所示，图线是双曲线，即E=$\frac{k}{r}$．在带电长直细棒右侧，有一长为2l的绝缘细线连接了两个质量均为m的带电小球A和B，小球A、B所带电荷量分别为+q和+6q，A球距直棒的距离也为l，两个球在外力F=2mg的作用下处于静止状态．不计两小球之间的静电力作用．

（1）图线下方阴影部分的面积代表的物理量在国际单位制中的单位是什么？
（2）求k的值；
（3）若剪断A、B间的绝缘细线，保持外力F=2mg不变，A球向左运动的最大速度为v_m，求从A球所在的初始位置到A球向左运动最大速度的位置之间的电势差．

Answer 1

分析 （1）分析图象的性质，根据所学v-t图象的规律迁移应用可知图中面积的意义；
（2）根据电场强度的公式E=$\frac{k}{r}$，结合适量合成法则与受力平衡条件，即可求解；
（3）根根据最大速度时，加速度为零，及动能定理，即可求解电场力做功，从而求解电势的变化．

解答 解：（1）由图可知，纵坐标为E，横坐标为长度r，则由U=Ed可知，图象中的面积应表示电势差，故其单位为伏特（V）
（2）对小球A、B及细线构成的整体，受力平衡，有：
q$\frac{k}{l}$+6q$\frac{k}{2l}$=2mg
得：k=$\frac{mgl}{2q}$
（3）当A向左运动达到速度最大时有：
q$\frac{k}{r}$=2mg
代入k，得：r=$\frac{l}{4}$
设从剪断绝缘细线到A球向左运动达到最大速度，电场力做功为W，由动能定理有：
2mg（l-r）+W=$\frac{1}{2}$mv_m²
解得：W=-（$\frac{3mgl}{2}$-$\frac{1}{2}$mv_m²），负号表示电场力做负功．
又由电场力做功可知：W=qU
因此：U=$\frac{W}{q}$=-（$\frac{3mgl}{2q}$-$\frac{m{v}_{m}^{2}}{2q}$）=-$\frac{3mgl-m{v}_{m}^{2}}{2q}$
在A球向左运动达到最大速度的过程中，所在处电势升高了．
变化量为：△U=$\frac{3mgl-m{v}_{m}^{2}}{2q}$；
故A球所在的初始位置到A球向左运动最大速度的位置之间的电势差为-△U=$\frac{m{v}_{m}^{2}-3mgl}{2q}$
答：（1）图线下方阴影部分的面积代表的物理量在国际单位制中的单位是为伏特（V）
（2）k的值$\frac{mgl}{2q}$；
（3）从A球所在的初始位置到A球向左运动最大速度的位置之间的电势差$\frac{m{v}_{m}^{2}-3mgl}{2q}$．

点评 本题考查电场中的规律以及牛顿第二定律与动能定理的应用，掌握整体法与隔离法的方法，理解矢量合成法则的内容，注意力做功的正负，及当加速度为零时，速度达到最大．