Question

如图所示，相互平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ=30°的绝缘斜面上，相距为L，导轨下端连接一个定值电阻R₁，上端通过开关S（S是闭合的）连接一个定值电阻R₂．导体棒ab放在导轨上靠近下端的位置，与导轨垂直并接触良好．在导轨平面上虚线MN以下的区域内，存在着垂直穿过斜面向上的匀强磁场．现对导体棒施加平行导轨向上的恒定拉力F，使它沿导轨先向上加速运动，在到达虚线MN之前，导体棒已经开始做匀速运动，速度大小为v=

Lg

．当导体棒到达MN时，立即撤去拉力F，导体棒向上运动一段后又向下滑动，在导体棒再次进入磁场前断开开关S，导体棒进入磁场后又恰好做匀速运动．已知R₁=R₂=R，导体棒的阻值为r=

R

2

、质量为m，重力加速度为g，导体棒的起始位置曲到MN的距离为2L，导轨电阻不计．求：
（1）磁感应强度B和拉力F的大小；
（2）导体棒从ab开始运动到回到初始位置ab的过程中电阻R₁产生的热量Q₁；
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时没有断开开关S，则导体棒ab将如何运动．

Answer 1

分析：（1）由题，ab棒在到达MN之前已经做匀速运动，受力平衡，由平衡条件可得到拉力F与重力、安培力的关系式，并由法拉第定律、欧姆定律推导出安培力与速度的关系；当导体棒到达MN时，立即撤去拉力F，导体棒先向上做匀减速运动，后向下做匀加速运动，两个过程加速度相同，两个过程具有对称性，棒滑回MN时的速度大小相等．由题，导体棒进入磁场后又恰好做匀速运动，再用同样的方法得到拉力F与重力、安培力的关系式，联立几个关系式，即可求得B和F．
（2）根据能量守恒列式，分别对ab棒在磁场中上滑和下滑时回路产生的热量，再根据串并联关系求解电阻R₁产生的热量Q₁；
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时没有断开开关S，分析安培力与重力沿斜面向下的分力关系，判断其运动情况．

解答：解：（1）棒ab到达MN前已经开始做匀速运动，受力平衡，则有
    F=mgsinθ+F_A1，
而又有F_A1=BI₁L，I₁=

BLv

1 2 R+r

=

BLv

1 2 R+ 1 2 R

=

BLv

R

，
得F_A1=

B2L2v

R

联立以上各式得 F=mgsinθ+

B2L2v

R

 ①
ab棒滑回到MN时，速度大小仍为v，也做匀速运动，则有
   mgsinθ=F_A2，
又F_A2=BI₂L，I2=

BLv

R+ 1 2 R

，
得F_A2=

2B2L2v

3R

由上面两式得：mgsinθ=

2B2L2v

3R

 ②
由题，v=

Lg

联立①②③解得，B=

3mgRsinθ

2L2 Lg

=

3mgR

4L2 Lg

，F=2.5mgsinθ=1.25mg．
（2）根据能量守恒得
ab棒上滑过程：F?2L=Q_R1+Q_R2+Q_r+mgsinθ?2L+

1

2

mv2
而Q_R1=Q_R2，Q_r=Q_R1+Q_R2，
解得：Q_R1=

1

4

（3mgsinθL-

1

2

mgL）=

1

4

mgL
ab棒下滑过程：mgsinθ?2L=Q_R1′+Q_r′
又Q_R1′=2Q_r′
解得，Q_R1′=

4

3

mgLsinθ=

2

3

mgL
故整个过程中，电阻R₁产生的热量Q₁=Q_R1+Q_R1′=

11

12

mgL
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时没有断开开关S，ab棒再次进入磁场时，所受的安培力大小等于F_A1，
由上知道，F_A1＞F_A2，mgsinθ=F_A2，
故有mgsinθ＜F_A1，则知ab棒再次进入磁场时所受安培力大于重力沿斜面向下的分力，则ab棒将做减速运动，安培力减小，加速度减小，即导体棒ab做加速度减小的减速运动．
答：
（1）磁感应强度为

3mgR

4L2 Lg

，拉力F的大小为1.25mg；
（2）导体棒从ab开始运动到回到初始位置ab的过程中电阻R₁产生的热量Q₁为

11

12

mgL．
（3）若在导体棒ab再次进入磁场时没有断开开关S，则导体棒ab做加速度减小的减速运动．

点评：本题关键是通过分析棒ab的受力情况来分析其运动情况，安培力的计算是关键，还要抓住对称性，分析得出ab棒返回时MN时的速度与上滑时速度大小相等．