题目内容

5．如图所示，在水平面上，一段直轨道右端连接有一段半径为R的1/4固定光滑圆弧轨道，直轨道上物体B左侧是光滑的，右侧BC之间是粗糙的，长度为2m．有一个质量为2.0kg的物体A压缩靠近左边墙面的弹簧，物体A与BC之间的动摩擦因数μ=0.5．质量为2.0kg的物体B被长度为l=0.5m的细线竖直悬挂，释放A以后，A运动到B处与B发生弹性碰撞（碰撞时A、B的速度交换）．碰撞后B刚好能过最高点．

则：（1）物体B与物体A碰撞后的速度是多少？
（2）物体A最后停下的位置距离C点多远；
（3）如果增大开始时的A对弹簧的压缩量使得开始时弹簧的弹性势能增大，当初始时刻弹簧具有的弹性势能满足什么条件时，物体A将能第二次滑上圆弧轨道，且连接B的绳不会松弛．

分析 （1）由于B刚好能过最高点，则在最高点，重力提供向心力，从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律列式，联立方程即可求解；
（2）当A、B碰撞时，物体A、B在第一次碰撞之后速度互换，B做圆周运动时，A静止在于B发生弹性碰撞的位置，当B经过最高点回到最低点时，又与A发生弹性碰撞，速度互换，物体A在水平面BC上滑动的总路程为s，由动能定理列式求解；
（3）当开始时弹簧的弹性势能增大，则第一次碰撞后A的速度增大，当物体第一次冲上曲面后滑下，经过BC段与B碰撞，速度交换，由于绳子不能松弛，分B物体刚好能运动到圆心等高和B物体刚好能完成整个圆周运动两种情况讨论求解．

解答 解：（1）由于B刚好能过最高点，假设B在最高点的速度为v0，则由重力完全提供向心力，则有：$mg=m\frac{v_0^2}{l}$，
可得：${v_0}=\sqrt{gl}$-----①
假设B在最低点时的速度为$v_B^'$，则由机械能守恒有：$\frac{1}{2}mv_B^{'2}=mg2l+\frac{1}{2}mv_0^2$-----②
联立①②可得：$v_B^'=\sqrt{5gl}$=5m/s
（2）当A、B碰撞时，物体A、B在第一次碰撞之后速度互换，B做圆周运动时，A静止在于B发生弹性碰撞的位置，当B经过最高点回到最低点时，又与A发生弹性碰撞，速度互换，则A又以$v_A^'=5m/s$向右做减速运动，设物体A在水平面BC上滑动的总路程为s．
由动能定理有：$\frac{1}{2}mv_A^2=μmgs$，
得：$s=\frac{v_A^2}{2μg}$=2.5m
由于BC长度为2m，故物体停在距离C点0.5m的位置处．
（3）当开始时弹簧的弹性势能增大，则第一次碰撞后A的速度增大，当物体第一次冲上曲面后滑下，经过BC段与B碰撞，速度交换，由于绳子不能松弛，如果B物体刚好能运动到圆心等高，回到最低点速度为：$mgl=\frac{1}{2}mv_1^2$，
物体A再次在BC面上运动距离s1，$\frac{1}{2}mv_1^2=μmg{s_1}$，
得s1=1m，物体到BC段中点停止，不能再上曲面CD；
如果B物体刚好能完成整个圆周运动，A再次运动到BC段的速度为v2，由第一问计算可知：v2=5m/s，物体能冲上斜面．
根据能量守恒有：${E_P}=2μmg{l_{BC}}+\frac{1}{2}mv_2^2$=65J，
所以弹簧的弹性势能需要大于65J，物体才能第二次冲上斜面．
答：（1）物体B与物体A碰撞后的速度是5m/s；
（2）物体A最后停下的位置距离C点0.5m处；
（3）如果增大开始时的A对弹簧的压缩量使得开始时弹簧的弹性势能增大，当初始时刻弹簧具有的弹性势能大于65J时，物体A将能第二次滑上圆弧轨道，且连接B的绳不会松弛．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律和运动学公式与圆周运动的综合，要求同学们能正确分析物体的运动情况，知道圆周运动向心力的来源，明确物体恰好通过最高点时，由重力提供向心力．

练习册系列答案
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