Question

4．如图所示，在高度为L=1m、足够宽的区域MNPQ内，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B=1T．质量为m=1kg、边长为L=1m、总电阻R=1Ω的正方形导线框abcd（线框每条边的电阻相同），在MN上方某一高度由静止开始自由下落．当bc边进入磁场时，导线框恰好做匀速运动．已知重力加速度为g取10m/s²，不计空气阻力，求：
（1）导线框刚下落时，bc边距磁场上边界MN的高度h；
（2）导线框刚进入磁场时bc边的电压U_bc；
（3）导线框穿越磁场的整个过程中，导线框中产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）线框速度达到稳定时，说明线框受力平衡即线框所受重力和安培力平衡，根据安培力的大小求出此时感应电流的大小，根据欧姆定律求出感应电动势从而求出此时线框的速度，根据动能定理可以求出bc边距磁场上边界MN的高度h；
（2）bc边的电压U_bc=$\frac{3}{4}$E；
（3）当线框速度已达稳定时，从能量守恒的角度分析处理，线框减少的重力势能等于线框增加的动能与产生的热量之和，计算出线框减少的势能再计算出产生的热量即可．

解答 解：设线框进入磁场时的速度为v，由于导线框恰好做匀速运动，所以安培力与重力大小相等，方向相反，
即mg=F_安；
线框bc边切割磁感线产生的电动势为：E=BLv
故线框中产生的电流为：I=$\frac{E}{R}$
线框在磁场中所受安培力为：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
线框进入磁场前做自由落体运动，根据动能定理可以求出线框进入磁场时的速度v，即：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-0
联立解得：h=$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
（2）根据电路特点和欧姆定律知U_bc=$\frac{3}{4}$RI=$\frac{3}{4}$R$•\frac{mg}{BL}$=$\frac{3mgR}{4BL}$
（3）由于磁场的宽度与线框的宽度相等，所以线框匀速穿过整个的磁场，整个的过程中线框减小的重力势能转化为线框产生的热量，即：
Q=mg•2L
答：（1）导线框刚下落时，bc边距磁场上边界MN的高度是$\frac{{m}^{2}g{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$；
（2）导线框刚进入磁场时bc边的电压U_bc为$\frac{3mgR}{4BL}$；
（3）导线框穿越磁场的整个过程中，导线框中产生的热量是2mgL．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，安培力是联系电磁感应和力学的桥梁，安培力的分析和计算是这类问题的关键．