Question

20．“伽利略”号木星探测器从1989年10月进入太空起，经历6年，行程37亿千米，终于到达木星周围．此后要在时间t内绕木星运行n圈，对木星及其卫星进行考察，最后进入木星大气层烧毁．设这n圈都是绕木星在同一个圆周上运行．已知木星表面的重力加速度为g，木星的半径为R，试求探测器绕木星运行的轨道半径和速率．

Answer 1

分析 探测器绕着木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知周期，根据牛顿第二定律列出等式，在木星表面有万有引力等于重力列出等式求解．

解答 解：在时间t内绕木星运行n圈，故周期为：T=$\frac{t}{n}$
在木星表面有万有引力等于重力：mg=m$\frac{GM}{{R}^{2}}$
探测器绕着木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
解得 r=$\root{3}{\frac{G{MT}^{2}}{{4π}^{2}}}$=$\frac{1}{2πn}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$
v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{1}{t}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$，
答：探测器绕木星运行的轨道半径是$\frac{1}{2πn}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$，速率是$\frac{1}{t}$$\root{3}{2nπ{{gR}^{2}t}^{2}}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．