Question

2．如图所示，质量为m=2kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=4kg，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，求：（取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）
（1）若斜面与物块间无摩擦力，求m加速度的大小及m受到支持力的大小；
（2）若斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.2，已知物体所受滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，求推力F的取值．（此问结果小数点后保留一位）

Answer 1

分析 （1）斜面M、物块m在水平推力作用下一起向左匀加速运动，物块m的加速度水平向左，合力水平向左，分析物块m的受力情况，由牛顿第二定律可求出加速度a和支持力．
（2）用极限法把F推向两个极端来分析：当F较小（趋近于0）时，由于μ＜tanθ，因此物块将沿斜面加速下滑；若F较大（足够大）时，物块将相对斜面向上滑，因此F不能太小，也不能太大，根据牛顿第二定律，运用整体隔离法求出F的取值范围．

解答 解：（1）由受力分析得：物块受重力，斜面对物块的支持力，合外力水平向左．

根据牛顿第二定律得：
  mgtanθ=ma
得 a=gtanθ=10×tan37°=7.5m/s²
m受到支持力 F_N=$\frac{mg}{cosθ}$=$\frac{20}{cos37°}$N=25N
（2）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F₁，此时物块的受力如下图所示．

对物块分析，在水平方向有 Nsinθ-μNcosθ=ma₁
竖直方向有  Ncosθ+μNsinθ-mg=0
对整体有  F₁=（M+m）a₁
代入数值得  ${a_1}=4.8m/{s^2}$，F₁=28.8N
设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F₂，
对物块分析，在水平方向有  N′sin?-μN′cosθ=ma₂
竖直方向有  N′sinθ-μN′sinθ-mg=0
对整体有  F₂=（M+m）a₂
代入数值得  ${a_2}=11.2m/{s^2}$，F₂=67.2N
综上所述可以知道推力F的取值范围为：28.8N≤F≤67.2N．
答：
（1）m加速度的大小是7.5m/s²，m受到支持力的大小是25N．
（2）推力F的取值范围为：28.8N≤F≤67.2N．

点评 解决本题的关键能够正确地受力分析，抓住临界状态，运用牛顿第二定律进行求解，注意整体法和隔离法的运用．