Question

16．质谱仪是分离和检测不同同位素的仪器．样品在高温管中蒸发、离解、原子化和电离，这些离子通过接口进入质谱仪真空系统．如图所示，一个电荷量为+q的离子，从小孔S₁飘入电势差为U的加速电场，其初速度几乎为0，然后经过C沿着圆形磁场半径方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打在E点上，已知圆形磁场的半径为R，∠COE=60°
（1）求该离子在磁场中运动的半径和离子质量；
（2）若另一个质量略小的同位素射入磁场，应该打在E点的左侧还是右侧？请说明理由；
（3）减小匀强磁场的磁感应强度，使原来打在E点的离子打在D点，∠COD=120°，求改变后磁场的磁感应强度B′；
（4）设同位素在磁场中运动的半径之差△r称为分辨率，请列出数学表达式分析提高实验分辨率的方法．

Answer 1

分析 据动能定理求出进磁场的速度，画出运动的轨迹图，根据几何关系得出打在E点时的半径，过C点和E点作半径的垂线，交点是圆心，根据半径公式联立几何关系求出m，质量变小，半径变小，打在E点左侧，粒子打在D点时方法与第一问相同，只是半径不同，根据轨迹图求出半径，其它同第一问，最后一问要把半径之差的表达式推导出来再讨论．

解答 解：（1）根据动能定理：$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
得$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$①
离子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
得$r=\frac{mv}{qB}$②
画出离子得运动轨迹如图，根据几何关系：$tan60°=\frac{R}{r}$
得$r=\frac{R}{\sqrt{3}}$③
联立①②③$m=\frac{q{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{6U}$
（2）根据①②联立得$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，换用另一质量略小的同位素，q相同，m偏小，r变小，应该打在E点的左侧
（3）减小磁感应强度，半径变大，画出轨迹，根据几何关系求出半径，$tan30°=\frac{R}{{r}_{\;}^{'}}$
得${r}_{\;}^{'}=\sqrt{3}R$
代入（2）问的式中，$\sqrt{3}R=\frac{1}{{B}_{\;}^{'}}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
解得${B}_{\;}^{'}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$
（4）由（2）的表达$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}\sqrt{m}$
${r}_{\;}^{'}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}\sqrt{{m}_{\;}^{'}}$
$△r=r-r′=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}（\sqrt{m}-\sqrt{{m}_{\;}^{′}}）$
减小磁感应强度或增加加速电压能增加△r，提高分辨率
（1）求该离子在磁场中运动的半径为$\frac{R}{\sqrt{3}}（或\frac{\sqrt{3}R}{3}）$和离子质量$m=\frac{q{B}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{6U}$；
（2）若另一个质量略小的同位素射入磁场，应该打在E点的左侧，因为半径变小了
（3）减小匀强磁场的磁感应强度，使原来打在E点的离子打在D点，∠COD=120°，求改变后磁场的磁感应强度B′=$\frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（4）设同位素在磁场中运动的半径之差△r称为分辨率，请列出数学表达式分析提高实验分辨率的方法$△r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U}{q}}（\sqrt{m}-\sqrt{{m}_{\;}^{′}}）$．减小磁感应强度或增加加速电压能增加△r，提高分辨率

点评 本题带电粒子在磁场中运动的问题，关键是考查作图能力，解题的三步骤：定圆心、画轨迹、求半径，在电场中的加速常用动能定理列式，在磁场中的偏转根据洛伦兹力提供向心力列式，这是解题的主要依据．