Question

 如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O点的正下方，一小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍．求：
（1）小球到B点时的速度；
（2）释放点距A的竖直高度；
（3）落点C与A的水平距离．

Answer 1

分析：（1）小球在管道内做圆周运动，由牛顿第二定律可以求出小球在B点的速度；
（2）从释放点到B点，应用机械能守恒定律可以求出释放点到A的竖直高度；
（3）小球离开管道后做平抛运动，由平抛运动知识可以求出落点C与A的水平距离．

解答：解：（1）设小球到达B点的速度为v₁，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，
由牛顿第二定律得：9mg-mg=

m

v12

R

 
解得：v₁=2

2gR

；
（2）由机械能守恒定律得：mg（h+R）=

1

2

mv 1 ²
解得：h=3R；
（3）设小球到达最高点的速度为v₂，落点C与A的水平距离为x
由机械能守恒定律得：

1

2

mv₁²=

1

2

mv₂²+mg?2R，
离开轨道后小球做平抛运动，
在竖直方向：R=

1

2

gt²，水平方向：R+x=v₂t，
解得：x=（2

2

-1）R；
答：（1）小球到B点时的速度为2

2gR

；
（2）释放点距A的竖直高度为3R；
（3）落点C与A的水平距离为（2

2

-1）R．

点评：分析清楚小球的运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理或机械能守恒定律、平抛运动规律即可正确解题．