Question

12．实验室常用电场和磁场来控制带电粒子的运动．在真空中A、C两板之间加上电压U，粒子被加速后从D点进入圆形有界磁场；匀强磁场区域以O为圆心，半径R=$\frac{\sqrt{3}}{10}m$，磁感应强度B方向垂直纸面向外；其右侧有一个足够大的匀强电场，方向竖直向下，左边界与圆形磁场边界相切；现在电场区域放置一块足够长档板GH，它与水平线FD夹角为60°（F点在档板上，圆心O位于在FD上），且OF=3R，如图所示．一比荷$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{3}$×10⁶C/kg的带正电粒子，从A板附近由静止释放，经U=150V电压加速后，从D点以与水平线成60°角射入磁场，离开圆形磁场时其速度方向与DF平行，最后恰好打在档板上的F点．不计粒子重力，求
（1）粒子进入磁场时的速度大小v_D；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）粒子到达F点时的速度大小v_F；
（4）不改变其他条件，逐渐增大匀强电场的电场强度，要使粒子仍能打到挡板上，求所加电场场度的
最大值．

Answer 1

分析 （1）对在加速电场中的加速过程根据动能定理列式求解v_D；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，作出运动的轨迹，结合几何关系得到轨道半径，然后运用洛伦兹力等于向心力列式求解；
（3）粒子在偏转电场中做类似平抛运动，根据分运动公式列式求解末速度；
（4）临界条件是粒子打在极板上时速度方向与GH平行，结合分运动公式和几何关系列式分析即可．

解答 解：（1）粒子在电压为U的加速电场中，由动能定理，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入数据解得：${v}_{D}=1×1{0}^{4}m/s$
（2）分析知，粒子在有界磁场中做圆周运动的圆心N恰好在圆周上，从M点水平射出磁场，设轨迹如图：

由此得到圆周运动半径为：$r=\sqrt{3}R=0.3m$
根据q${v}_{D}B=m\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$，
代入数据解得：B=0.1T
（3）粒子进入电场（MF）后做类似平抛运动，

水平分位移：
x=2R=$\frac{\sqrt{3}}{5}m$
竖直分位移：y=Rsin60°=0.15m
又x=v_Dt，y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$，v=$\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
代入解得：v=$\frac{\sqrt{7}×1{0}^{4}}{2}m/s=1.3×1{0}^{4}m/s$
（4）当电场强度取到最大值E时，临界条件是粒子打到板上时轨道恰好与板面相切，即速度方向沿板GH，如图，

由类似平抛运动的规律，粒子的速度反向延长线交水平位移的中点（Q），有MQ=QR
又$MQ=2R-r/2tan60°=0.15\sqrt{3}m$
根据x=0.3$\sqrt{3}$=v_Dt，v_y=at，
又v_y=v_Dtan60°，
a=$\frac{qE}{m}$
联立解得：E=1000V/m
答：（1）粒子进入磁场时的速度大小为1×10⁴m/s；
（2）磁感应强度B的大小为0.1T；
（3）粒子到达F点时的速度大小为1.3×10⁴m/s；
（4）不改变其他条件，逐渐增大匀强电场的电场强度，要使粒子仍能打到挡板上，所加电场场度的最大值为1000V/m．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，分直线加速、匀速圆周运动和类似平抛运动过程进行研究，要结合动能定理、牛顿第二定律、分运动公式列式求解，同时要画出运动轨迹并结合几何关系确定圆轨道半径和类似平抛运动的分位移关系．