Question

1．如图所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ=30°时，可视为质点的一小木块恰好能沿着木板匀速下滑．若让该小木块从木板的底端以大小恒定的初速率v₀的速度沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度为g．
（1）求小物块与木板间的动摩擦因数；
（2）当θ角为何值时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值．

Answer 1

分析 （1）θ=30°时，可视为质点的小木块恰好能沿着木板匀速下滑，根据平衡条件列方程求出摩擦因数；
（2）根据牛顿第二定律得出速度的表达式，然后根据位移公式得到上滑距离x的表达式，结合数学知识求x的极值．

解答 解：（1）当θ=30°时，木块处于平衡状态，对木块受力分析：
mgsin θ=μF_N
F_N-mgcos θ=0
解得：μ=tanθ=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
（2）当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，木块的加速度为a，则：-mgsin θ-μmgcos θ=ma
由0-${v}_{0}^{2}$=2ax得：$x=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+α）}$
令tan α=μ，则当α+θ=90°时，x最小，即θ=60°
所以x最小值为：${x}_{min}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2g（sin60°+μcos60°）}=\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$
答：（1）小物块与木板间的动摩擦因数为$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）当θ=60°时，小物块沿木板上滑的距离最小，此最小值为$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{4g}$．

点评 本题第二问中求加速度和位移是物理学中的常规问题，关键是由数学三角函数知识求极值，要重视数学方法在物理中的应用．