Question

如图所示，竖直平面内的光滑半圆形轨道MN的半径为R，MP为粗糙水平面．两个小物块A、B可视为质点，在半圆形轨道圆心O的正下方M处，处于静止状态．若A、B之间夹有少量炸药，炸药爆炸后，A恰能经过半圆形轨道的最高点N，而B到达的最远位置恰好是A在水平面上的落点．已知粗糙水平面与B之间的动摩擦因数为μ，求：
（1）A在轨道最高点的速度大小；
（2）B到达的最远位置离M点的距离；
（3）A与B的质量之比．

Answer 1

分析：（1）A恰好到达轨道最高点，重力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出A到达最高点时的速度．
（2）A离开轨道后做平抛运动，由平抛运动规律可以求出A的水平位移，可以求出B到达的最远位置离M点的距离．
（3）爆炸过程中，A、B系统动量守恒，由动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理可以求出A、B的质量之比．

解答：解：（1）A恰能经过半圆形轨道的最高点，
由牛顿第二定律得：mAg=mA

v 2 N

R

，
解得：vN=

gR

；
（2）A离开轨道后做平抛运动，
在水平方向：x=v_Nt，
在竖直方向：2R=

1

2

gt2，
解得：x=2R，
B到达的最远位置离M点的距离：x=2R，
（3）炸药爆炸过程AB组成的系统动量守恒，以A的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m_Av_A-m_Bv_B=0，
A上升到N的过程，由机械能守恒定律得：

1

2

mA

v

2 A

=

1

2

mA

v

2 N

+mAg?2R，
对B，由动能定理得：-μmBgS=0-

1

2

mB

v

2 B

，
解得：

mA

mB

=

4μ

5

；
答：（1）A在轨道最高点的速度大小为

gR

；
（2）B到达的最远位置离M点的距离为2R；
（3）A与B的质量之比为

4μ

5

．

点评：分析清楚物体运动过程，应用牛顿第二定律、平抛运动知识、动量守恒定律与机械能守恒定律、动能定理即可正确解题；解题时要注意：“A恰能经过半圆形轨道的最高点N”时，重力提供A做圆周运动的向心力．