Question

15．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住．2011年，我国宇航员王跃曾与俄罗斯宇航员一起进行过“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的$\frac{1}{2}$，质量是地球质量的$\frac{1}{9}$，自转周期也基本相同．地球半径为R，其表面重力加速度是g，万有引力常量为G．
试求：（1）火星的第一宇宙速度  
（2）火星的密度．

Answer 1

分析 （1）在星球表面，根据万有引力等于重力求出星球表面重力加速度，再根据星球表面重力提供向心力求出第一宇宙速度；
（2）根据万有引力提供向心力求出中心天体的质量，再根据$ρ=\frac{M}{V}$求解密度．

解答 解：（1）在地球表面上，重力等于万有引力$G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$，
同样，在火星表面，火星的重力加速度为g′，则有：
$G\frac{{M}_{火}m}{{{R}_{火}}^{2}}=mg′$
联立可得，火星表面的重力加速度为$g′=\frac{4}{9}g$
地球上的第一宇宙速度为v₁，火星上的第一宇宙速度为v₂，
则有，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，$mg′=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{R}_{火}}$
联立可得：${v}_{2}=\sqrt{\frac{2}{9}gR}$
（2）在星球表面，重力等于万有引力，则有：
$G\frac{{M}_{地}m}{{{R}_{地}}^{2}}=mg$，
$G\frac{{M}_{火}m}{{{R}_{火}}^{2}}=mg′$，
地球密度$ρ=\frac{{M}_{地}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，
火星密度$ρ′=\frac{{M}_{火}}{\frac{4}{3}π{{R}_{火}}^{3}}$，
联立解得：${ρ}_{火}=\frac{2g}{3πGR}$
答：（1）火星的第一宇宙速度为$\sqrt{\frac{2}{9}gR}$；  
（2）火星的密度为$\frac{2g}{3πGR}$．

点评 通过物理规律把进行比较的物理量表示出来，再通过已知的物理量关系求出问题是选择题中常见的方法．把星球表面的物体运动和天体运动结合起来是考试中常见的问题．