Question

1．登月探测器由地球出发经地月转移轨道靠近月球后，先在近月圆轨道上绕月运行，继而经过一系列减速过程后将包围在探测器外面的气囊充气再落向月球，落月后再经过多次弹跳最终静止在平坦的月球表面上．已知探侧器第一次着月弹起到达最高点时距离月球表面的高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v₀，第二次着月点到第一次弹起最高点的水平距离为x，月球半径为r．
（1）求月球表面的重力加速度的大小g_月；
（2）忽略探测器近月圆轨道距月表的高度，求其近月绕行的速度大小v和周期T．

Answer 1

分析 （1）探测器第一次落到月球表面弹起后，到达最高点的高度为h，此后做平抛运动，根据平抛运动基本规律求解．
（2）根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力结合向心力公式求解线速度和周期．

解答 解：（1）探测器第一次落到月球表面弹起后，到达最高点的高度为h，此后做平抛运动，
则水平方向有：t=$\frac{x}{{v}_{0}}$，
竖直方向有：h=$\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
解得：g_月=$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{x}^{2}}$
（2）根据月球表面，万有引力等于重力结合向心力公式得：
mg_月=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=m$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：v=$\sqrt{{g}_{月}r}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}r}{{x}^{2}}}$，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}r{x}^{2}}{2h{{v}_{0}}^{2}}}$
答：（1）月球表面的重力加速度的大小g_月为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{x}^{2}}$；
（2）忽略探测器近月圆轨道距月表的高度，其近月绕行的速度大小v为$\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}r}{{x}^{2}}}$，周期T为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}r{x}^{2}}{2h{{v}_{0}}^{2}}}$．

点评 本题的关键是知道探测器第一次落到月球表面弹起到达最高点后做平抛运动，能根据平抛运动基本规律结合万有引力提供向心力公式求解，难度适中．