题目内容

7．磁流体发电具有结构简单、启动快捷、环保且无需转动机械等优势．如图所示，是正处于研究阶段的磁流体发电机的简易模型图，其发电通道是一个长方体空腔，长、高、宽分别为l、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧面是电阻可忽略的导体电极，这两个电极通过开关与阻值为R的某种金属直导体MN连成闭合电路，整个发电通道处于匀强磁场中，磁感应强度的大小为B，方向垂直纸面向里．高温等离子体以不变的速率v水平向右喷入发电通道内，发电机的等效内阻为r，忽略等离子体的重力、相互作用力及其他因素．
（1）求该磁流体发电机的电动势大小E；
（2）当开关闭合后，整个闭合电路中就会产生恒定的电流．
a．要使等离子体以不变的速率v通过发电通道，必须有推动等离子体在发电通道内前进的作用力．如果不计其它损耗，这个推力的功率PT就应该等于该发电机的总功率PD，请你证明这个结论；
b．若以该金属直导体MN为研究对象，由于电场的作用，金属导体中自由电子定向运动的速率增加，但运动过程中会与导体内不动的粒子碰撞从而减速，因此自由电子定向运动的平均速率不随时间变化．设该金属导体的横截面积为s，电阻率为ρ，电子在金属导体中可认为均匀分布，每个电子的电荷量为e．求金属导体中每个电子所受平均阻力的大小f．

分析 （1）等离子体受到洛伦兹力发生偏转，根据正电荷的偏转方向确定直流电源的正极．最终电荷在电场力和洛伦兹力作用下处于平衡，根据平衡求出电源的电动势；
（2）根据闭合电路欧姆定律计算电流大小，得出安培力大小，再由功率表达式，从而即可证明；
依据电流的定义式，与电阻定律，即可求解．

解答 解：（1）当外电路断开时，极板间的电压大小等于电动势．
此时，发电通道内电荷量为q的离子受力平衡．有：$qvB=q\frac{E}{a}$①
可得：E=Bav②
（2）a．当电键闭合，由欧姆定律可得：$I=\frac{E}{R+r}$③
该电流在发电通道内受到的安培力大小为：FA=BIa④
要使等离子体做匀速直线运动，所需的推力为：FT=FA⑤
推力F的功率为：PT=FTv⑥
联立②③④⑤⑥可得：${P_T}=\frac{{{B^2}{a^2}{v^2}}}{R+r}$⑦
闭合电路中发电机的总功率为：PD=IE⑧
联立②③⑧可得：${P_D}=\frac{{{B^2}{a^2}{v^2}}}{R+r}$⑨
由⑦⑨可得：PT=PD
可见，推力的功率PT就等于该发电机的总功率PD．
b：设金属导体R内电子运动的平均速率为v1，单位体积内的电子数为n，
t时间内有N个电子通过电阻的横截面，则：
11N=v1tsn⑩
t时间内通过横截面的电荷量为：Q=Ne
电流为：$I=\frac{Q}{t}$
联立②③⑩式可得：${v_1}=\frac{Bav}{（R+r）nes}$
设金属导体中的总电子数为N1，长度为d，由于电子在金属导体内可视为匀速直线运动，
所以电场力的功率（电功率）应该等于所有电子克服阻力f做功的功率，即：
14I2R=N1fv1
15N1=dsn
由电阻定律得：$R=\frac{ρS}{d}$
联立②③式可得：$f=\frac{Baveρ}{（R+r）s}$
答：（1）求该磁流体发电机的电动势大小Bav；
（2）a．证明如上所述；
b．金属导体中每个电子所受平均阻力的大小$\frac{Baveρ}{（R+r）s}$

点评 解决本题的关键掌握左手定则判断洛伦兹力的方向，以及会根据电荷的平衡求出电动势的大小，即极板间的电势差；并掌握电阻定律与电流的定义式的内容．
第二问：（另一解法）设金属导体的长度为d，电阻为R，由电阻定律得：$R=\frac{ρS}{d}$
金属导体两端的电压为：UR=IR
金属导体内的电场可看作匀强电场，设场强大小为E0，则：UR=E0d
电子在金属导体内匀速直线运动，阻力等于电场力，则：f=eE0
联立②③式可得：$f=\frac{Baveρ}{（R+r）s}$；

练习册系列答案
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