Question

7．宇宙中相距较近、仅在彼此的万有引力作用下运行的两颗行星称为双星．已知某双星系统中两颗星的总质量为m的恒星围绕他们连线上某一固定点分别作匀速圆周运动，周期为T，万有引力常量为G．求这两颗恒星之间的距离．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，两颗恒星有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：设两颗恒星的质量分别为m₁、m₂，做圆周运动的半径分别为r₁、r₂．
根据题意有r₁+r₂=L，m₁+m₂=m
根据万有引力定律和牛顿第二定律，有
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r₁，
$\frac{{{Gm}_{1}m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r₂，

联立以上三式解得 L=$\root{3}{\frac{{GT}^{2}m}{{4π}^{2}}}$
答：这两颗恒星之间的距离是$\root{3}{\frac{{GT}^{2}m}{{4π}^{2}}}$．

点评 本题是双星问题，与卫星绕地球运动模型不同，两颗星都绕同一圆心做匀速圆周运动，关键抓住条件：相同的角速度和周期．