Question

8．如图甲所示是游乐场中过山车的实物图片，可将过山车的一部分运动简化为图乙的模型图，此模型中所有轨道都是光滑的．现使小车（视作质点）从左侧轨道距B点高h=0.25m处（图中未标出）由静止开始向下运动，B点为圆轨道的最低点，小车进入圆轨道后，恰好能通过轨道的最高点A处．不计空气阻力，小车的质量m=1.0kg，g取10m/s²．求：

（1）小车通过B点时的速度大小v_B；
（2）圆轨道的半径R的大小；
（3）小车通过到圆轨道B点时对轨道的压力大小F_B．

Answer 1

分析 （1）小车下滑的过程，由动能定理或机械能守恒求出小车B点时的速度大小．
（2）小车恰好能通过圆形轨道的最高点A处，轨道对小车的弹力为零，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律求出小车在A点的速度．从B到A的过程，运用机械能守恒定律列式，可求得轨道半径R．
（3）在B点，通过支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出支持力，再由牛顿第三定律得到压力．

解答 解：（1）小车下滑的过程，由动能定理得
   mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
可得 v_B=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×0.25}$=$\sqrt{5}$m/s
（2）由于小车恰能通过A点，由重力提供小车圆周运动所需要的向心力，根据牛顿第二定律得：
  mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{gR}$
从B到A的过程，运用机械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ 
联立解得 R=0.1m
（3）设轨道在最低点对小车的支持力大小为F_B′，由牛顿第二定律有
   F_B′-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得 F_B′=60N
由牛顿第二定律可知，小车对轨道的压力 F_B=F_B′=60N
答：
（1）小车通过B点时的速度大小v_B是$\sqrt{5}$m/s．
（2）圆轨道的半径R的大小是0.1m；
（3）小车通过到圆轨道B点时对轨道的压力大小F_B是60N．

点评 本题综合考查了牛顿第二定律、动能定理和机械能守恒定律，关键是理清小车的运动过程，抓住圆周运动的临界条件，运用合适的规律进行研究．