Question

10．如图所示，在坐标系xoy平面内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标O₁（a，0）圆内分布有垂直于纸面向里的匀强磁场．在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴正向的匀强电场，场强为E．在x=2a处有一平行于y轴的足够大荧光屏．在O点有一个粒子源，能在第一象限向各个方向垂直磁场发射出质量为m、电荷量为+q、速度大小为v的相同粒子．其中沿x轴正方向的一粒子，恰好能从O₁点的正上方的A点射出磁场．不计粒子的重力．

（1）求磁感应强度B的大小；
（2）求所有射出的粒子打在荧光屏上的范围；
（3）若撤去荧光屏，保持电场大小不变，方向改为沿y轴负方向．求沿x轴正方向成θ=30°射入磁场的粒子在电场中能到达最远的位置坐标及最后射出磁场的位置坐标．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系求出粒子在磁场中运动的半径，结合半径公式求出磁感应强度的大小．
（2）从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点，从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点，根据类平抛运动的规律求出所有射出的粒子打在荧光屏上的范围．
（3）作出粒子的运动轨迹，结合几何关系和动能定理求出在电场中最远坐标，根据几何关系求出最后射出磁场的位置坐标．

解答 解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，根据牛顿第二定律，有$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
沿x轴正方向的一粒子，恰好能从O₁点的正上方的A点射出磁场，根据几何关系知，R=a，
解得B=$\frac{mv}{qa}$．
（2）从O点射出的沿x轴正向的粒子打在屏上最低点，
$a=\frac{qE}{2m}{{t}_{1}}^{2}$，${t}_{1}=\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$，
${y}_{1}=a+v{t}_{1}=a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}$．
从O点沿y轴正向射出的粒子打在屏上最高点，
$2a=\frac{qE}{2m}{{t}_{2}}^{2}$，${t}_{2}=\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
${y}_{2}=a+v{t}_{2}=a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$，
所以粒子打在荧光屏上的范围为$a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}≤y≤a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$．
（3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，出磁场时：
$x=r-rcos60°=\frac{a}{2}$，
粒子进电场后做匀减速运动，上升阶段有：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=qE△y$，
$△y=\frac{m{v}^{2}}{2qE}$，
所以在电场中最远坐标为$（\frac{a}{2}，a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}）$，
因为粒子的轨迹半径与磁场的边界半径相等，粒子返回磁场后射入点和射出点与轨迹圆心及磁场的边界圆心的连线构成菱形，所以最后射出磁场的坐标为（2a，0），
 答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{qa}$；
（2）所有射出的粒子打在荧光屏上的范围为$a+v\sqrt{\frac{2ma}{qE}}≤y≤a+v\sqrt{\frac{4ma}{qE}}$；
（3）沿x轴正方向成θ=30°射入磁场的粒子在电场中能到达最远的位置坐标为$（\frac{a}{2}，a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}）$，最后射出磁场的位置坐标为（2a，0）．

点评 本题关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；第二问确定两个临界状态，结合类平抛运动的规律进行求解．第三问关键分析后画出物体的运动轨迹，然后再列式计算．