Question

9．如图1所示，载流导体薄板处在垂直于电流方向的磁场中时，在垂直于电流和磁场的方向上会产生电势差，称为霍尔电压U_H，这种现象称为霍尔效应．设图1中通过导体的电流为I_s，垂直于薄板表面的磁场磁感应强度为B，自由电荷电荷量为q，单位体积内自由电荷的数量为n，薄板的厚度为d，宽度为b
（1）选用上述各量表示霍尔电压U_H的值；
（2）技术上应用霍尔效应可以测量未知磁场的磁感应强度，这样的仪器叫做磁强计．
a．请在上问的基础上从原理上说明如何利用霍尔效应测量磁感应强度？
b．当待测磁场发生一很小变化时，测量仪器显示的值变化越大，就称其越灵敏．简要说明如何提高上述测量的灵敏程度？

（3）在一个很小的半导体薄片上，制作四个电极，就成了一个霍尔元件，图2所示的就是一种霍尔元件，将其与电压放大电路等辅助装置连接起来，就可以测量磁场的分布情况．当霍尔元件垂直轴线置于图3所示通电螺线管的正中央位置时，测得霍尔电压U_H=72.0mV．已知正中央位置的磁感应强度B=2.4mT，图4为根据沿轴线逐点测量的实验结果绘制的图线，在靠近轴线的区域各处的磁感应强度都和轴线处相差不多．
技术上还常用测量通过小线圈的电荷量的方法探测磁场．若有匝数N=10，直径D=1cm，电阻R=1Ω的圆形线圈与可显示通过其电荷量的仪器相连，把它放在轴线上x=15cm处，然后急速地把它移到磁场外面，运动过程中保持线圈平面与轴线垂直，计算此过程通过它的电荷量．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 当电场力与洛仑兹力平衡时薄板左右两侧间形成稳定的霍尔电压U_H，根据受力平衡列方程求解；
根据霍尔电压的表达式提出待测磁场的磁感应强度B的方法；
过线圈横截面的电荷量 $q=\bar I△t=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{△t}{R}=N\frac{△Φ}{R}=\frac{{NBπ{D^2}}}{4R}$

解答 解：（1）载流导体薄板中通有恒定电流I_s时，设薄板中自由电荷做定向运动的速度设为v，则I_s=nqvbd
载流导体薄板在磁场中，自由电荷做定向运动，受洛仑兹力作用，在左右两侧分别聚集正负电荷，薄板内形成电场，当电场力与洛仑兹力平衡时薄板左右两侧间形成稳定的霍尔电压U_H，此时有：$qvB=q\frac{U_H}{b}$；
整理得：${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$
（2）a．当载流导体垂直置于待测磁场中时，由${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$知，保证通过导体的电流I_s一定时，霍尔电压U_H与磁感应强度B成正比，事先通过理论及实验的方法测定U_H与B的比值，即可通过测量U_H来确定待测磁场的磁感应强度B；
b．提高$\frac{I_s}{nqd}$的值，可以使测量磁场的灵敏程度提高．
（3）霍尔元件垂直轴线置于螺线管正中央位置时，霍尔电压U_H=72.0mV，已知此处B=2.4mT，求得U_H与B的对应关系为：U_H=30B
由图3知：当把小线圈放在轴线上x=15cm处时，U_H=70.0mV，可求得对应位置B=$\frac{7}{3}$mT
小线圈从x=15cm处迅速移出磁场的过程中，线圈中的平均电动势$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
平均电流$\overline{I}=\frac{\bar E}{R}=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{1}{R}$
通过线圈横截面的电荷量  $q=\bar I△t=N\frac{△Φ}{△t}•\frac{△t}{R}=N\frac{△Φ}{R}=\frac{{NBπ{D^2}}}{4R}$=1.8×10^-6C
答：（1）选用上述各量表示霍尔电压U_H的值为${U_H}=\frac{{B{I_s}}}{nqd}$；
（2）可通过测量U_H来确定待测磁场的磁感应强度B；
提高$\frac{I_s}{nqd}$的值，可以使测量磁场的灵敏程度提高．
（3）通过线圈横截面的电荷量1.8×10^-6C．

点评 解决本题的关键掌握电流的微观表达式，以及知道稳定时电子所受的电场力和洛伦兹力平衡．