Question

11．如图所示为恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O的运行轨道近似为圆．已知引力常量为G，A行星的运行轨道半径为R₀、周期为T₀．
（1）求中央恒星O的质量；
（2）A行星的半径为r₀，其表面的重力加速度为g，不考虑行星的自转．有一颗距离A行星表面为h做圆周运动的卫星，求该卫星的线速度大小．（忽略恒星对卫星的影响）
（3）经长期观测发现，A行星实际运动的轨道与理论轨道总存在一些偏差，并且每隔t₀时间发生一次最大的偏离．天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知的行星B（假设其运行圆轨道与A的轨道在同一水平面内，且绕行方向与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离，根据上述现象和假设，试估算未知行星B绕中央恒星O运动的周期及轨道半径．

Answer 1

分析 （1）行星由恒星的万有引力提供向心力，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律由行星的运行轨道半径为 R₀，周期为T₀求出恒星O的质量；
（2）卫星绕行星做匀速圆周运动，行星对卫星的万有引力提供卫星的向心力，再由牛顿第二定律求解卫星的线速度大小；
（3）先根据多转动一圈时间为t₀，求出卫星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径

解答 解：（1）设中央恒星O的质量为M，A行星的质量为m，则由万有引力定律和牛顿第二定律得
$G\frac{Mm}{{{R}_{0}}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}{R}_{0}}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得 M=$\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{{{GT}_{0}}^{2}}$
（2）设卫星的质量为m₀，由题意可知：
$G\frac{m{m}_{0}}{{（{r}_{0}+h）}^{2}}={m}_{0}\frac{{v}^{2}}{（{r}_{0}+h）}$

$G\frac{m{m}_{0}}{{{r}_{0}}^{2}}={m}_{0}g$
解得：v=$\sqrt{\frac{g{{r}_{0}}^{2}}{{r}_{0}+h}}$
（3）由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T，则有：
$（\frac{2π}{{T}_{0}}-\frac{2π}{T}）{T}_{0}=2π$
解得：T=$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$
据开普勒第三定律：$\frac{{R}^{3}}{{{R}_{0}}^{3}}=\frac{{T}^{2}}{{{T}_{0}}^{2}}$
解得：$R=\root{3}{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{2}}{R}_{0}$
答：（1）中央恒星O的质量为$\frac{4{π}^{2}{{R}_{0}}^{3}}{{{GT}_{0}}^{2}}$；
（2）该卫星的线速度大小为$\sqrt{\frac{g{{r}_{0}}^{2}}{{r}_{0}+h}}$；
（3）未知行星B绕中央恒星O运动的周期为$\frac{{t}_{0}{T}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，轨道半径为$\root{3}{{（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）}^{2}}{R}_{0}$．

点评 本题中第（1）要注意已知旋转天体的轨道半径和周期求出的是中心天体的质量，而不是旋转天体本身的质量，掌握万有引力提供向心力这一理论，并能灵活运用，知道A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t₀发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，难度适中．