Question

6．A、B两行星在同一平面内绕同一恒星做匀速圆周运动，运行方向相同，A的轨道半径为r₁，B的轨道半径为r₂，已知恒星质量为m，恒星对行星的引力远大于行星间的引力，两行星的轨道半径r₁＜r₂．若在某一时刻两行星相距最近，试求：再经过多少时间两行星距离又最近？

Answer 1

分析 A、B两行星距离最近时A、B与恒星在同一条圆半径上．根据恒星对行星的万有引力提供向心力列式，得到行星角速度的表达式．根据A、B距离最近的条件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…），求出时间．

解答 解：A、B两行星距离最近时A、B与恒星在同一条圆半径上． A、B运动方向相同，A更靠近恒星，A的转动角速度大、周期短．如果经过时间t，A、B与恒星连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则A、B与恒星又位于同一条圆半径上，距离最近．
设A、B的角速度分别为ω₁，ω₂，经过时间t，A转过的角速度为ω₁t，B转过的角度为ω₂t．A、B距离最近的条件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…）
恒星对行星的引力提供向心力，则：$\frac{GMm}{{r}^{2}}=m{ω}^{2}r$
解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
由此得出：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}$，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}$
求得t=$\frac{2πn}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$（n=1，2，3…）．
答：再经过$\frac{2πn}{\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{1}}^{3}}}-\sqrt{\frac{GM}{{{r}_{2}}^{3}}}}$（n=1，2，3…）时间两行星距离又最近．

点评 本题根据处理卫星问题的基本思路：万有引力等于向心力的基础上，抓住圆周运动的周期性，运用数学知识求解时间．