Question

14．空间中有一直角坐标系，其第一象限中在圆心为O₁、半径为R、边界与x轴和y轴相切的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B，第二象限中存在方向竖直向下的匀强电场．现有一群质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从圆形区域边界与x轴的切点A处沿纸面上的不同方向射入磁场中，如图所示．已知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径均为R，其中沿AO₁方向射入的粒子恰好到达x轴上与O点距离为2R的N点．不计粒子的重力和它们之间的相互作用．求：

（1）粒子射入磁场时的速度大小及电场强度的大小；
（2）速度方向与AO₁夹角为60°（斜向右上方）的粒子到达x轴所用的时间．

Answer 1

分析 （1）由洛伦兹力充当向心力可求得粒子的速度；再根据粒子在电场中的平抛运动规律可求得电场强度的大小；
（2）根据题意明确粒子的运动情况，明确粒子转动的运动轨迹图；明确圆心角则可求得粒子转动的时间．

解答 解：（1）设粒子射入磁场时的速度大小为v，因在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
  得v=$\frac{qBR}{m}$
如图甲所示，因粒子的轨迹半径是R，故沿AO₁方向射入的粒子一定从与圆心等高的D点沿x轴负方向射入电场，则粒子在电场中从D点到N点做类平抛运动，有
水平方向：2R=vt
竖直方向有：
R=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²
解得E=$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$
（2）对于速度v（斜向右上方）的粒子，轨迹如图乙所示，轨迹圆心为C，从M点射出磁场，连接O₁M，四边形O₁MCA是菱形，故CM垂直于x轴，速度方向偏转角度等于圆心角θ=150°，
速度为v的粒子在磁场中运动的时间为t₁=$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T=$\frac{5πm}{6qB}$
粒子离开磁场到y轴的距离MH=$\frac{R}{2}$，在无场区运动的时间t₂=$\frac{R}{2v}$=$\frac{m}{2qB}$
设粒子在电场中到达x轴运动的时间为t₃，H_O=R+$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，则R+$\frac{\sqrt{3}R}{2}$=$\frac{qE}{2m}$t₃²
解得t₃=（$\sqrt{3}$+1）$\frac{m}{qB}$
故粒子到达x轴的时间为
t=t₁+t₂+t₃=（$\frac{5π}{3}$+3+2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{2qB}$；
答：（1）粒子射入磁场时的速度大小为$\frac{qBR}{m}$；电场强度的大小$\frac{qR{B}^{2}}{2m}$；
（2）速度方向与AO₁夹角为60°（斜向右上方）的粒子到达x轴所用的时间为=（$\frac{5π}{3}$+3+2$\sqrt{3}$）$\frac{m}{2qB}$；

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动情况，要注意明确粒子在电场中运动时应用运动的合成和分解规律求解；而在磁场中做圆周运动时，根据几何关系和洛伦兹力充当向心力规律求解．