Question

18．在离水平地面高度为H处有一小球A，在A的右边，与它的水平距离为s处的地面上，有另一小球B，如图所示，现同时把两球抛出，A沿水平方向向右，抛出时的初速度为v_A，B竖直向上，抛出时间的初速度为v_B，设H、s是已知的．问：
（1）要想使两球空中相碰，v_A、v_B各应满足什么条件？
（2）若从抛出到相碰所经历的时间为最长，则B球运动的路程是多少？

Answer 1

分析 （1）在A球水平分位移为s时刻，B球不能落回抛出点；两个球竖直方向的分位移之和等于H；
（2）在B球抛出点相碰，经历的时间是最长的，根据平抛运动的分位移公式列式求解即可．

解答 解：（1）设A球从抛出至落地的时间为t₁，则：
H=$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$        ①
在t₁时间内，A球在水平方向运动的路程不能小于s，否则不可能与B球相碰，故有：
v_At₁≥s        ②
由①、②两式得v_A应满足的条件：
v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$　　　③
抛出后经时间t，B球上升到离地面的高度为h_B处，则：
h_B=v_Bt-$\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$　④
这时A球离地面的高度h_A为：
h_A=H-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  　⑤
若B球在运动过程中与A球相碰，则应满足：
h_A=h_B       ⑥
s=v_At        ⑦
由④、⑤、⑥式可得：
H=v_Bt        ⑧
联立⑦、⑧两式得：
v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$ ⑨
故③式和⑨式即为使两球空中相碰，v_A、v_B各应满足的条件；
（2）如果要使B球在抛出后经过较长的时间才相碰，由⑧式知t=$\frac{H}{{v}_{B}}$，即v_B要较小，但碰撞必须发生在A球落地之前，故经历最长的时间即为A球从抛出至落地的时间t₁，由①式和⑧式可得出，v_B的最小值为：
v_B=$\frac{H}{{t}_{1}}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$　   
B球上升的最大高度为：
h_m=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2g}$=$\frac{1}{4}H$
则B球从抛出到碰撞时刻经过的总路程为：
s_B=2h_m=$\frac{1}{2}H$
答：（1）要想使两球空中相碰，需要满足v_A≥s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$和v_B=$\frac{H}{S}{v}_{A}$≥$\sqrt{\frac{1}{2}gH}$；
（2）若从抛出到相碰所经历的时间为最长，则B球运动的路程是$\frac{H}{2}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住竖直位移大小之和等于H，以及时间相等两个条件进行求解．