Question

12．最近我国连续发射了多颗“北斗一号”导航定位卫星，预示着我国通讯技术的不断提高，卫星的质量为m，处于地球的同步轨道上，假设其离地面高度为h，地球半径为R，地面附近重力加速度为g，求：
（1）该卫星所在处的重力加速度；
（2）该卫星周期与近地卫星周期之比；
（3）该卫星运动的动能．

Answer 1

分析 由万有引力提供向心力列出等式结合黄金代换可求出加速度，周期的表达式从而确定各选项．

解答 解：（1）由ma=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$  ①
       又         GM=gR²    ②
                 则a=$g\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$
    （2）由$G\frac{M}{{r}^{2}}=r\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   可得$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$    $\frac{T}{{T}_{近}}=\sqrt{\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}}$
    （3）${E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$    ③v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{r}}$ ④
      由③④式可得：E_K=$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{r}$
答：1）该卫星所在处的重力加速度为$g\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$
（2）该卫星周期与近地卫星周期之比为$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}}$；
（3）该卫星运动的动能为$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{r}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力和及黄金代换两个理论，并能灵活运用．