Question

7．如图所示，光滑弧形轨道与半径为r的光滑圆轨道相连，固定在同一个竖直面内，将一个小球从倾斜轨道某处无初速释放．

（1）若小球刚好能够到达圆轨道的最高点A，求释放处离地高度h₁．
（2）若小球到达最高点A时对轨道的压力等于其重力，求释放处离地高度h₂．

Answer 1

分析 （1）由竖直平面内的圆周运动的临界条件可求得最高点的速度；再由动能定理可求得h的高度；
（2）最高点处对小球受力分析，由向心力公式可求得小球的速度；再由动能定理即可求得高度．

解答 解：（1）小球刚好不脱离圆轨，在最高点由牛顿第二定律得：$mg=m\frac{{v}^{2}}{R}$①
小球由斜轨至圆轨最高点过程，由动能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$②
联立①②解得：h=2.5R
（2）在最高点对小球由牛顿第二定律得：F_N+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$③
又有：F_N=mg④
小球由斜轨至圆轨最高点过程，由动能定理得：mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$⑤
联立③④⑤解得：h=3R；
答：（1）若小球刚好能够到达圆轨道的最高点A，释放处离地高度是2.5R．
（2）若小球到达最高点A时对轨道的压力等于其重力，释放处离地高度是3R．

点评 本题考查动能定理及向心力公式的应用，要注意明确竖直平面内做圆周运动时，最高点时重力应全部充当向心力．