Question

12．若动能相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比R_A：R_B=1：2，则
（1）它们的角速度之比ω_A：ω_B是多少？
（2）它们的线速度之比V_A：V_B是多少？
（3）质量之比m_A：m_B又是多少？

Answer 1

分析 （1）万有引力提供向心力，由于牛顿第二定律求出角速度，然后求出角速度之比；
（2）万有引力提供向心力，由于牛顿第二定律求出线速度，然后求出线速度之比；
（3）根据动能的计算公式求出卫星的质量之比．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
两卫星的角速度之比：$\frac{{ω}_{A}}{{ω}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{{R}_{A}^{3}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{1}$；
（2）由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
则两卫星的线速度之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{B}}{{R}_{A}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{1}$；
（3）A、B两卫星动能相等，即：$\frac{1}{2}$m_Av_A²=$\frac{1}{2}$m_Bv_B²，
卫星的质量之比：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{{v}_{B}^{2}}{{v}_{A}^{2}}$=$\frac{1}{2}$；
答：（1）它们的角速度之比ω_A：ω_B是2$\sqrt{2}$：1；
（2）它们的线速度之比V_A：V_B是$\sqrt{2}$：1；
（3）质量之比m_A：m_B是1：2．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，应明确求解卫星绕地球做匀速圆周运动的思路是地球对卫星的万有引力等于卫星需要的向心力，注意灵活选取线速度和角速度表示向心力．