Question

17．一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，运行周期为T，引力常量为G．
（1）求地球的质量M；
（2）若人造卫星变轨后，轨道半径变为2r，求人造卫星在新轨道上运行的周期．

Answer 1

分析 （1）卫星绕地球圆周运动时万有引力提供圆周运动向心力，据此求得中心天体地球的质量M；
（2）根据万有引力提供圆周运动向心力，即可求出．

解答 解：（1）卫星绕地球圆周运动时，万有引力提供圆周运动向心力有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
依此解得地球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）轨道半径变为2r时有：$G\frac{mM}{{（2r）}^{2}}=m•2r\frac{4{π}^{2}}{{T′}^{2}}$
联立得：T′=$2\sqrt{2}T$
答：（1）地球的质量M是$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）人造卫星在新轨道上运行的周期是$2\sqrt{2}T$．

点评 万有引力在天文学上的应用主要是根据万有引力提供圆周运动向心力来计算中心天体的质量，注意只能计算中心天体不能计算环绕天体的质量．