Question

17．如图所示，固定的光滑平台左端固定有一光滑的半圆轨道，轨道半径为R，平台上静止放着两个滑块A、B，其质量m_A=m，m_B=2m，两滑块间夹有少量炸药．平台右侧有一木板，静止在光滑的水平地面上，木板质量M=3m，板面与平台的台面等高，板面粗糙，动摩擦因数μ=0.2，右侧地面上有一立桩，立桩与木板右端的距离为s，当木板运动到立桩处立即被牢固粘连．点燃炸药后，滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D，滑块B冲上木板．两滑块都可以看作质点，炸药的质量忽略不计，爆炸的时间极短，爆炸后两个滑块的速度方向在同一水平直线上，重力加速度为g．求：

（1）炸药爆炸后滑块A的速度大小v_A
（2）炸药爆炸后滑块B的速度大小v_B．
（3）①若s足够长，要使滑块B能与木板相对静止，则木板长度L至少为多少？
     ②若木板长度L=2R，立桩与木板右端的距离s可调整，调整范围为0-2R，请讨论滑块B在木板上运动的过程中，克服摩擦力做的功W_f与s的关系．

Answer 1

分析 （1）炸药爆炸后，滑块A做圆周运动，滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D，在D点，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求出速度v_AD．再由动能定理求滑块A的速度大小v_A．
（2）炸药爆炸过程A、B组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可以求出B的速度v_B．
（3）B与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律、功能关系结合分析答题．

解答 解：（1）以水平向右为正方向，设爆炸后滑块A的速度大小为v_A，
滑块A在半圆轨道运动，设到达最高点的速度为v_AD，
由牛顿第二定律得：m_Ag=m_A$\frac{{v}_{AD}^{2}}{R}$，
解得：v_AD=$\sqrt{gR}$
滑块A在半圆轨道运动过程中，由动能定理可得：
-m_Ag•2R=$\frac{1}{2}$m_Av_AD²-$\frac{1}{2}$m_Av_AC²，
解得：v_A=v_AC=$\sqrt{5gR}$
（2）A、B爆炸过程中动量守恒，以B的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得：m_Bv_B-m_Av_A=0
解得：v_B=$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$；
（3）①当滑块B与小车共速，设此速度为v，
整个过程中，由动量守恒，以B的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：
  2mv_B=（2m+3m）v
对木板和滑块B组成的系统，由能量守恒定律得
   μ•2mgs_相对=$\frac{1}{2}$•2mv_B²-$\frac{1}{2}$（2m+3m）v²；
解得：s_相对=$\frac{15}{8}$R
即木板的最小长度 L_min=s_相对=$\frac{15}{8}$R
②对木板研究，由动能定理得
  μ•2mgs=$\frac{1}{2}$•3mv²-0；
得 s_车=$\frac{3}{4}$R（滑块B与木板相对静止时，木板的位移大小）
共速后，木板与立桩粘连后，若滑块B在板上做匀减速运动直到停下，其位移为
  s′=$\frac{{v}^{2}}{2μg}$=$\frac{1}{2}$R＞（2R-$\frac{15}{8}$R）=$\frac{1}{8}$R，即这种情况下滑块会脱离木板
  （a）当0＜s＜$\frac{3}{4}$R叶，木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速．
分析可知，滑块会滑离木板，滑块B克服摩擦力做功为
   W_f=μ•2mg（L+s）=0.4mg（2R+s）
  （b）当$\frac{3}{4}$R＜s＜2R时，木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连
木板与滑块B共速后到碰到立桩之前，滑块B与木板之间无摩擦力
滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为：
   W_f1=μ•2mg（s_车+L）=0.4mg（$\frac{3}{4}$R+2R）=1.1mgR；
答：
（1）炸药爆炸后滑块A的速度大小v_A为$\sqrt{5gR}$．
（2）炸药爆炸后滑块B的速度大小v_B是$\frac{\sqrt{5gl}}{2}$．
（3）①若s足够长，要使滑块B能与木板相对静止，则木板长度L至少为$\frac{15}{8}$R．
②（a）当0＜s＜$\frac{3}{4}$R叶，木板到与立桩粘连时未与滑块B达到共速，滑块B克服摩擦力做功为0.4mg（2R+s）．
  （b）当$\frac{3}{4}$R＜s＜2R时，木板与滑块B先达到共速然后才与立桩粘连．滑块从滑上小车到共速时克服摩擦力做功为1.1mgR．

点评 本题过程比较复杂，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，确定研究对象与研究过程，应用牛顿第二定律、动量守恒定律、能量守恒定律即可正确解题．