Question

如图所示，在xoy平面直角坐标系第一象限内分布有垂直向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=2.5×10^-2T，在第二象限紧贴y轴和x轴放置一对平行金属板MN（中心轴线过y轴），极板间距d=0.4m，极板与左侧电路相连接。通过移动滑动头P可以改变极板MN间的电压。a、b为滑动变阻器的最下端和最上端（滑动变阻器的阻值分布均匀），a、b两端所加电压。在MN中心轴线上距y轴距离为L=0.4m处有一粒子源S，沿x轴正方向连续射出比荷为，速度为v_o=2.0×10⁴m/s带正电的粒子，粒子经过y轴进入磁场后从x轴射出磁场（忽略粒子的重力和粒子之间的相互作用）。

（1）当滑动头P在ab正中间时，求粒子射入磁场时速度的大小。

（2）当滑动头P在ab间某位置时，粒子射出极板的速度偏转角为，试写出粒子在磁场中运动的时间与的函数关系，并由此计算粒子在磁场中运动的最长时间。

Answer 1

（1） （或）；（2）   （或）    

解析：（1）当滑动头P在ab正中间时，极板间电压，粒子在电场中做类平抛运动，设粒子射入磁场时沿y轴方向的分速度为：

            ①       

           ②                                

           ③                     

    粒子射入磁场时速度的大小设为

              ④

    解得： （或）   ⑤

（2）当滑动头P在a端时，粒子在磁场中运动的速度大小为，有

              ⑥  

  解得：      ⑦        

设粒子射出极板时速度的大小为，偏向角为α，在磁场中圆周运动半径为。根据速度平行四边形可得：

      ⑧

由可得：        ⑨

粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，圆心为，与x轴交点为D，

设，根据几何关系：

        ⑩

   又：    

解得：     

    粒子在磁场中运动的周期为T：

                

则粒子在磁场中运动的时间：

               

由此结果可知，粒子射入磁场时速度偏转角越大则粒子在磁场中运动的时间就越大。假设极板间电压为最大值时粒子能射出电场，则此粒子在磁场中运动的时间最长。

由（1）问规律可知当滑动头P在b端时，粒子射入磁场时沿y方向的分速度：

             

y方向偏距：，说明粒子可以射出极板。

此时粒子速度偏转角最大，设为，

           

故粒子在磁场中运动的最长时间：

       

代入数值得：（或）  

注：当电压最大为U时粒子能从极板间射出需要说明，若没有说明（或证明）扣2分。

评分标准：本题19分. （1）问6分，①、②、③、④式各1分，⑤式2分；（2）问13分，⑥—式共5分，、式共2分，、式共2分，、、式共4分。