Question

19．如图所示，在匀强磁场中有一倾斜的平行金属导轨，导轨间距为L，长为3d，导轨平面与水平面的夹角为θ，在导轨的中部刷有一段长为d的薄绝缘涂层．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直．质量为m的导体棒从导轨的顶端由静止释放，在滑上涂层之前已经做匀速运动，并一直匀速滑到导轨底端．导体棒始终与导轨垂直，且仅与涂层间有摩擦，接在两导轨间的电阻为R，其他部分的电阻均不计，重力加速度为g．求：

（1）导体棒与涂层间的动摩擦因数μ；
（2）导体棒匀速运动的速度大小v；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q．

Answer 1

分析 （1）研究导体棒在绝缘涂层上匀速运动过程，受力平衡，根据平衡条件即可求解动摩擦因数μ．
（2）据题导体棒在滑上涂层之前已经做匀速运动，推导出安培力与速度的关系，再由平衡条件求解速度v．
（3）导体棒在滑上涂层滑动时摩擦生热为Q_T=μmgdcosθ，再根据能量守恒定律求解电阻产生的焦耳热Q．

解答 解：（1）在绝缘涂层上，导体棒做匀速直线运动，受力平衡，则有：
mgsinθ=μmgcosθ
解得：μ=tanθ
（2）导体棒在光滑导轨上滑动时：
感应电动势为：E=BLv
感应电流为：I=$\frac{E}{R}$
安培力为：F_安=BIL
联立得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
受力平衡，有：F_安=mgsinθ
解得：v=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）导体棒在滑上涂层滑动时摩擦生热为：Q_T=μmgdcosθ
整个运动过程中，根据能量守恒定律得：3mgdsinθ=Q+Q_T+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：Q=2mgdsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：（1）导体棒与涂层间的动摩擦因素μ为tanθ；
（2）导体棒匀速运的速度大小v为$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）整个运动过程中，电阻产生的焦耳热Q为2mgdsinθ-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题实质是力学的共点力平衡与电磁感应的综合，都要求正确分析受力情况，运用平衡条件列方程，关键要正确推导出安培力与速度的关系式，分析出能量是怎样转化的．