Question

河宽l=300 m，河水流速u=1 m/s，船在静水中的速度v=3 m/s.欲按下列要求过河时，船的航向应与河岸成多大角度？过河时间为多少？

（1）以最短的时间过河；

（2）以最短的位移过河；

（3）到达正对岸上游100 m处.

Answer 1

解析：（1）过河时间取决于河宽和垂直河岸的横渡速度.当航向（即船头）垂直河岸时，垂直河岸的速度最大，过河时间最短.

    将船相对水的速度沿平行于水流和垂直于水流的方向分解，如图6-2-5所示，则u-vcosθ为渡船实际沿水流方向的运动速度，vsinθ为渡船垂直于水流方向的运动速度.

图6-2-5

    过河时间为：t=，可见，当θ=90°即航向（船头）垂直河岸时，过河时间最短.

（2）当船沿垂直河岸方向横渡，即v_合垂直河岸时，过河位移最短.

（3）要求到达上游确定的某处，应使船的合速度始终指向该处.

答案：（1）最短过河时间为：

t₁= s=100 s

    此时，船的航向与河岸成90°角.船的运动情况如图6-2-6（a）所示，船将到达下游某处C.

图6-2-6

（2）以最小位移过河时船的运动情况如图6-2-6（b）所示，船的合速度v_合必须垂直河岸.设船的航向（船速方向）逆向上游与河岸成α角，则：

cosα=

α≈70.5°

    又v_合= m/s

    过河时间为

t₂= s≈106 s.

（3）设D点在正对岸上游100 m处，即图中s=100 m.渡河时，船头与河岸成β角，过河时间为t₃，如图6-2-6（c），将船相对水的速度v沿平行于水流和垂直于水流的方向分解.由

（vcosβ-u）t₃=s

（vsinβ）t₃=l

    代入数据得：（3cosβ-1）t₃=100

（3sinβ）t₃=300

    即3cosβ=  3sinβ=

    两式平方后相加，整理后得：-200t₃-10⁵=0

    取合理解：t₃=125 s

sinβ= =0.8      β=53°.