Question

13．如图所示，为一竖直放置的半径为R的圆形轨道，该轨道的$\frac{3}{4}$圆ABCD部分光滑，左边$\frac{1}{4}$圆DA部分粗糙．现将一质量为m的小球置于最低点A，然后给小球一个水平向右的初速度，小球沿圆轨道运动并干刚好能到达最高点C，小球通过最高点C后沿CDA轨道回到A点，到达A点时对轨道的压力为5mg，g为重力加速度．求：
（1）小球在A点初速度v₀的大小；
（2）小球经过D点时，轨道对小球的支持力大小；
（3）小球经过DA段克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）小球沿轨道恰好运动到最高点C，则在C点，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求得C点的速度，再由机械能守恒定律可以求出在A点时的初速度v₀．
（2）由机械能守恒定律求小球经过D点时的速度．在D点，由轨道的支持力提供向心力，由牛顿第二定律求轨道对小球的支持力大小．
（3）小球回到A点时，由牛顿第二定律可以求出到达A点的速度．小球由D回到A点过程，应用动能定理可以求出克服摩擦力的功．

解答 解：（1）小球到达最高点C时，由重力提供向心力，则有
   mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$          
小球由A运动到最高点C过程中，由机械能守恒定律有：（取A点为参考点）
    $\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$                  
（2）设小球到达D点时速度为v_D，从C到D的过程，由机械能守恒定律有
   $\frac{1}{2}$mv_C²+mgR=$\frac{1}{2}$mv_D²
在D点，由牛顿第二定律有
    F_ND=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$                
解得：F_ND=3mg               
（3）设小球经过DA段克服摩擦力所做的功为W_f，回到A点时速度为v_A．
回到A点时，有
    F_NA-mg=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$              
从D到A的过程，由动能定理有
   mgR-W_f=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv_D²
解得：W_f=$\frac{1}{2}$mgR              
答：
（1）小球在A点初速度v₀的大小是$\sqrt{5gR}$；
（2）小球经过D点时，轨道对小球的支持力大小是3mg；
（3）小球经过DA段克服摩擦力所做的功是$\frac{1}{2}$mgR．

点评 该题为圆周运动和机械能的综合，要知道小球做圆周运动时，由法向合力提供向心力，小球到达最高点C的临界条件是重力等于向心力．