Question

8．如图所示，半径为R的光滑的$\frac{3}{4}$圆弧轨道AC放在竖直平面内，与足够长的粗糙水平轨道BD通过光滑水平轨道AB相连，在光滑水平轨道上，有a、b两物块和一段轻质弹簧．将弹簧压缩后用细线将它们拴在一起，物块与弹簧不拴接．将细线烧断后，物块a通过圈弧轨道的最高点P时，对轨道的压力等于自身重力．已知物块a的质量为m，b的质量为2m，物块b与BD面间的动摩擦因数为μ，物块到达A点或B点前已和弹簧分离，重力加速度为g．求：
（1）物块b沿轨道BD运动的距离x；
（2）烧断细线前弹簧的弹性势能E_p．

Answer 1

分析 （1）弹簧弹开a、b过程，ab系统动量守恒，物块a通过轨道最高点P点，由合力充当向心力，由向心力公式可得出小球a在P点的速度，由机械能守恒可得出a球经过A点的速度，进而求得b被弹开时的速度，再根据动能定理求解距离x；
（2）释放弹簧，ab被弹出的过程，由机械能守恒可得出弹簧的弹性势能．

解答 解：（1）弹簧弹开a、b过程，由动量守恒定律得：0=mv₁-2mv₂
物块a从A到P运动的过程中，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
在最高点重力与支持力合力提供向心力：$mg+F=m\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$ 
联立可解得：${v}_{1}=\sqrt{6gR}$，${v}_{2}=\frac{\sqrt{6gR}}{2}$ 
物块b减速到停下的过程中，由动能定理得：$-μ•2mgx=0-\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
可解得：$x=\frac{3R}{4μ}$
（2）弹簧弹开物块过程，弹性势能转化为动能：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$
解得弹性势能：${E}_{p}=\frac{9}{2}mgR$
答：（1）物块b沿轨道BD运动的距离x为$\frac{3R}{4μ}$；
（2）烧断细线前弹簧的弹性势能E_p为$\frac{9}{2}mgR$．

点评 本题主要考查了动量守恒定律、动能定理的综合应用，解决本题的关键：一要明确小球a到达圆轨道最高点：合力充当向心力．二要明确有摩擦时往往运用动能定理或能量守恒定律求解．