Question

18．如图所示，A是地球的同步卫星，另有一颗质量为m的卫星B，其圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h．已知地球半径为R，地球自转角速度为ω₀，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．求：
（1）卫星B运行周期．
（2）卫星B运动的动能．
（3）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

Answer 1

分析 研究卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出周期和速度．
卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于2π时，卫星再一次相距最近．

解答 解：（1）由万有引力定律和向心力公式得
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
r=R+h
在地球表面有：G$\frac{GM}{{R}^{2}}$=mg②
联立解得：T_B=2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$
（2）根据地球卫星万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，r=R+h
卫星B运动的动能E_k=$\frac{1}{2}$m${v}_{\;}^{2}$=$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$，
（3）由题意得它们再一次相距最近时，一定是B比A多转了一圈，有：
（ω_B-ω₀）t=2π
ω_B=$\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}}$，
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$．
答：（1）卫星B运行周期是2π$\sqrt{\frac{{（R+h）}^{3}}{{gR}^{2}}}$．
（2）卫星B运动的动能是$\frac{m{gR}^{2}}{2（R+h）}$．
（3）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过$\frac{2π}{\sqrt{\frac{{gR}^{2}}{{（R+h）}^{3}}{-ω}_{0}}}$它们再一次相距最近．

点评 本题考查万有引力定律和圆周运动知识的综合应用能力．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．