Question

11．如图，水平轨道A点左侧光滑，右侧粗糙，距A点s=1.0m的B端与半径R=0.25m的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直．一小物块b以v₀=3.0m/s的速度，与静置于A点的小物块a发生弹性碰撞．碰后a沿水平轨道运动，然后滑上轨道BCD．已知小物块a的质量m_a=1.0kg，a与AB轨道间的动摩擦因数μ=0.20，g取10m/s²．
（1）若a到达半圆轨道的中点C点时速率v_C=1.0m/s，求a进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小；
（2）若a能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求a碰后的最大速度；
（2）若a能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求b的质量m_b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出a到达B点的速度，然后应用牛顿第二定律求出支持力，再求出压力．
（2）应用动能定理可以求出a碰后的速度．
（3）碰撞过程机械能守恒，应用机械能守恒定律可以求出b的质量范围．

解答 解：（1）设物块a经过B点时的速度为v_B，
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_av_B²=$\frac{1}{2}$m_av_C²+m_agR   ①
设物块刚进入圆轨道时受到的支持力为N，
由牛顿第二定律得：N-m_ag=m_a$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$      ②
解得：N=34N，由牛顿第三定律知，a对轨道的压力大小为34N．
（2）要使a仍能沿圆轨道滑回，a在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C．
设碰后a的速度为v₁时恰能滑到C点，由动能定理有：
-μm_ags-m_agR=0-$\frac{1}{2}$m_av₁²    ③
解得：v₁=3m/s，此为a碰后的最大速度．
（3）设碰后a的速度为v₂时恰能滑到B点，
由动能定理有：-μm_ags=0-$\frac{1}{2}$m_av₂²    解得：v₂=2.0m/s；
碰后a的速度满足2.0m/s≤v_a≤3.0m/s时，a能滑上圆轨道，并仍能沿圆轨道滑下．
设 b、a发生弹性碰撞的速度分别为v_b、v_a，以b的初速度方向为正方向，
根据动量守恒定律得：m_bv₀=m_av_a+m_bv_b，
碰撞过程无动能损失：$\frac{1}{2}$m_bv₀²=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²，
解得：v_a=$\frac{2{m}_{b}{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_{b}}$，由2.0m/s≤$\frac{2{m}_{b}{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_{b}}$≤3.0m/s，
解得：0.50kg≤m_b≤1.0kg；
答（1）a进入半圆轨道的B点时对轨道的压力大小为34N；
（2）a碰后的最大速度为3m/s；
（2）b的质量m_b的取值范围是0.50kg≤m_b≤1.0kg．

点评 本题考查了求压力、速度与质量范围问题，分析清楚物体运动过程是解题的前提与关键，分析清楚物体运动过程后应用动量守恒定律、动能定理、机械能守恒定律可以解题．