Question

17．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆轨道和地球表面在B点相切，已知地球的质量为M，地球半径为R₀，引力常量为G．求：
（1）飞船在圆形轨道上运动时经过A点处的加速度大小．
（2）飞船由A点到B点所需要的时间．

Answer 1

分析 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，根据圆周运动的公式求解船在圆形轨道上运动时经过A点处的加速度大小；
根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间．

解答 解：（1）飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，飞船在圆形轨道上运动时经过A点处的加速度大小为：a=$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R，
（2）根据题意得椭圆轨道的半长轴r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$．
根据开普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{T′}^{2}}$，
因为r=$\frac{{R+R}_{0}}{2}$，
解得：T′=$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
则飞船由A点到B点的运动时间为：t=$\frac{T′}{2}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．
答：（1）飞船在圆形轨道上运动时经过A点处的加速度大小是$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R．
（2）飞船由A点到B点所需要的时间是$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{{R+R}_{0}}{2R}）}^{3}}$T．

点评 由题目的描述，飞船由A点到B点所需的时间应是椭圆轨道的半个周期．关键掌握开普勒第三定律，并能灵活运用．