题目内容
10．
如图所示，水平地面上固定有一半径为R的半球面，P点位于半球面的斜上方，P、O之间的距离L=$\frac{\sqrt{13}}{2}$R，P到地面的高度H=$\frac{5}{4}$R．今在P与球面间架设整体上光滑的倾斜轨道PA，使质点从P点由静止开始沿PA在最短时间内滑到球面上，则PA与竖直方向之间夹角θ应满足（ ）| A． | tanθ=3$\sqrt{3}$ | B． | tanθ=1 | C． | tanθ=$\sqrt{3}$ | D． | tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
分析 以PB所在的直线选取适当的长度为直径作圆，与⊙O相较于A点，该圆为“等时圆”；通过几何关系求解该圆的半径与R的关系，即可得到θ角的大小，由此求解正切值．
解答 解：如图所示，以P为最高点，作一个半径为r的竖直平面内的辅助圆，通过P点向圆上引一条弦，该弦与竖直方向的夹角为α，
则质点在光滑斜直轨道上的加速度为a=$\frac{mgcosα}{m}=gcosα$，
下滑的时间为t，则：2rcosα=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由以上两式得质点从P点由静止开始滑到圆上的时间为t=$\sqrt{\frac{4r}{g}}$，即t与α无关，与$\sqrt{r}$成正比；
作出以P为圆的最高点，相切于半球面A点的辅助圆，如图所示，则PA为最短时间的斜直轨道；
设辅助圆的半径为r，则有cosβ=$\frac{H-r}{R+r}$，
在△OPO′中，有：L2=（R+r）2+r2-2（R+r）rcos（π-β），
由以上两式得$r=\frac{1}{2}R$，
解得β=60°，则θ=$\frac{1}{2}$β=30°
tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以D正确、ABC错误．
故选：D．
点评 本题主要是考查“等时圆”的问题．正确的建立“等时圆”是解答此类问题的关键；注意余弦定理在本题中的应用．
练习册系列答案
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1．
如图所示，AB是某点电荷电场中的一条电场线，在电场线上O点由静止释放一个负电荷，它仅在电场力作用下沿电场线向B运动，下列判断正确的是（ ）
如图所示，AB是某点电荷电场中的一条电场线，在电场线上O点由静止释放一个负电荷，它仅在电场力作用下沿电场线向B运动，下列判断正确的是（ ）| A． | 电场线由B指向A，该电荷做加速运动，加速度越来越小 | |
| B． | 电场线由A指向B，电荷做匀加速运动 | |
| C． | 电场线由B指向A，该电荷做加速运动，加速度可能越来越大 | |
| D． | 电场线由B指向A，电荷做加速运动，加速度越来越大 |
1．
如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经过O点向B点做直线运动，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）
如图，平行板电容器两个极板与水平地面成2α角，在平行板间存在着匀强电场，CD是两板间一条垂直于板的直线，竖直线EF与CD交于O点，一个带电小球沿着∠FOD的角平分线从A点经过O点向B点做直线运动，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（ ）| A． | 小球一定带负电 | |
| B． | 小球可能做匀加速直线运动 | |
| C． | 小球加速度大小为gcosα | |
| D． | 小球重力势能的增加量等于电势能的增加量 |
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在范围足够大、倾角θ=37°的光滑斜面底部的A点以初动能Eko=4J垂直水平底边AC沿斜面向上射出一质量m=0.5kg的小球，同时施加一水平向右的恒力F（图中未画出），当小球运动最高点B时其动能Ek1=4J，最后小球击中与抛出点在同一水平面上的底边AC的C点，如图所示．取g=10m/s2，sin37°=0.6，求：