Question

18．如图所示，一绝缘?形弯杆由两段直杆PQ、MN和一半径为R的半圆环连接组成，固定在纸面所在的竖直平面内，PQ、MN水平且足够长，半圆环MAP段是光滑的，现有一质量为m的小环套在MN杆上．且小环在运动过程中始终受到一个大小为$\frac{3}{4}$mg的水平向左的恒力作用．小环与PQ、MN间动摩擦因数均为0.25，现使小环在距离M点右侧2R的D点以某一初速度向左运动，小环刚好能到达P点，求：
（1）小球在D点的初速度大小v₀；
（2）若将小环移至M点右侧6R处由静止开始释放（设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等），小环第一次通过与O等高的A点时对弯杆的作用力大小；
（3）若小环仍从距M点右侧6R处由静止释放，小球在运动过程中在水平杆上运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）小环从D至P过程中，运用动能定理列式，即可求解；
（2）小环由静止释放运动到A的过程，根据动能定理，求出小环通过A点时的速度；对小环在A点受力分析由牛顿第二定律及牛顿第三定律即可求解；
（3）小环最终在M点左侧与OM成74°圆弧内运动，对整个过程，由动能定理求解．

解答 解：（1）因小环刚好能到达P点，则v_P=0，由动能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•2R-mg•2R-μmg•2R=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
（2）在小环由M点到A点的过程中，由动能定理得：
$\frac{3}{4}$mg•7R-mg•R-μmg•6R=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，由牛顿第二定律得：N-$\frac{3}{4}$mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{25}{4}$mg
根据牛顿第三定律知，小环第一次通过与O等高的A点时对弯杆的作用力大小为：N′=N=$\frac{25}{4}$mg
（3）小环最终在M点左侧与OM成74°圆弧内运动，对整个过程，由动能定理得：$\frac{3}{4}$mg•6R-μmgS=0
可得小球在运动过程中在水平杆上运动的总路程为：S=18R
答：（1）小球在D点的初速度大小v₀为$\sqrt{2gR}$．
（2）小环第一次通过与O等高的A点时对弯杆的作用力大小为$\frac{25}{4}$mg．
（3）小球在运动过程中在水平杆上运动的总路程为18R．

点评 要正确分析小环最终的状态，根据动能定理列出表达式求解．运用动能定理解题需合适地选取研究的过程，要明确滑动摩擦力做功与总路程有关．