Question

20．如图所示，传送带与水平地面间的夹角θ=37°，其上端点A到下端点B的长度L=16m，在传送带的A点无初速度地放一个质量为m=0.5kg的物体（可视为质点），已知物体与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，取g=10m/s²，问
（1）如传送带保持静止，求物体沿传送带从A下滑到B得时间；
（2）如果传送带以v₀=10m/s的速度从A向B运动，求物体从A运动到B得时间；
（3）要使物体从A运动到B得时间最短，求传送带运动的最小速度．

Answer 1

分析 （1）传送带静止时，物体沿传送带匀加速下滑，分析物体的受力，由牛顿第二定律求加速度，由运动学位移公式求时间；
（2）如传送带以v₀=10m/s的速率逆时针转动，物体开始时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出速度增加到与传送带相同所经历的时间．速度相同时，由于μ＜tan37°，物体继续向下做匀加速运动，所受的滑动摩擦力沿斜面向上，再由牛顿第二定律求出加速度，再位移公式求出时间，即可求得总时间；
（3）当物体从A运动到B一直做匀加速运动时，所需要的时间最短，由位移公式求出最短的时间．由速度公式求出传送带最小的速度．

解答 解：（1）传送带静止时，物体受到沿斜面向上的滑动摩擦力作用，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ=ma，
得加速度a=g（sinθ-μcosθ）=2m/s²
由L=$\frac{1}{2}$at²，
得t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=4s
（2）如传送带以v₀=10m/s的速率逆时针转动，物体开始时受到沿斜面向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁，
加速度为a₁=10m/s²
则物体加速到速度与传送带相同所经历的时间为 t₁=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{1}}$=1s，
此过程通过的位移为 s₁=$\frac{1}{2}$a₁${t}_{1}^{2}$=5m，
由于μ=0.5＜tan37°，则速度相同后物体继续向下做匀加速运动，所受的滑动摩擦力将沿斜面向上，则有
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂，
解得 加速度为 a₂=2m/s²
由 1₁=v₀t₂+$\frac{1}{2}$a₂${t}_{2}^{2}$，解得，t₂=1s，
故物体从A运动到B需要的时间为t=t₁+t₂=2s
（3）物体从A运动到B一直以加速度a₁=10m/s²匀加速运动需要的时间最短，设最短时间为t_min，则
L=$\frac{1}{2}$a₁ ${t}_{min}^{2}$
解得t_min=$\sqrt{\frac{2L}{{a}_{1}}}$=$\sqrt{3.2}$s
当物体到达传送带底端速度恰好与传送带速度相同时，传送带速度为v=a₁t_min=10$\sqrt{3.2}$m/s，则传送带的速度大于等于
10$\sqrt{3.2}$m/s逆时针转动时，物体从A运动到B需要的时间最短．
答：
（1）如传送带保持静止，物体沿传送带下滑时间是4s；
（2）如传送带以v₀=10m/s的速率逆时针转动．物体从A运动到B需要的时间是2s；
（3）传送带的速度大于等于10$\sqrt{3.2}$m/s逆时针转动时，物体从A运动到B需要的时间最短．

点评 从此例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．