Question

1．如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为$\frac{R}{2}$的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是$\frac{GMm}{{d}^{2}}$-$\frac{GMm}{{8（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$．

Answer 1

分析 用没挖之前球对质点的引力，减去被挖部分对质点的引力，就是剩余部分对质点的引力．

解答 解：由万有引力表达式：F=$\frac{GMm}{{r}^{2}}$，
由其内部挖去一个半径为R的球形空穴，挖去小球的质量为m′，
挖去之前的球的质量为M，则：M=8m′，
在没有挖去前，大球对m的万有引力为F=$\frac{GMm}{{d}^{2}}$，
该力等效于挖去的直径为R的小球对m的力和剩余不规则部分对m的力这两个力的合力，
所以对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是F′=$\frac{GMm}{{d}^{2}}$-$\frac{Gm\frac{M}{8}}{{（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$=$\frac{GMm}{{d}^{2}}$-$\frac{GMm}{{8（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$
故答案为：$\frac{GMm}{{d}^{2}}$-$\frac{GMm}{{8（d-\frac{R}{2}）}^{2}}$

点评 本题主要采用割补法的思想，根据整体球M在与小球m的引力等于割掉的小球与小球m的引力和剩余空腔部分与小球m的引力的矢量和，掌握割补思想是解决本题的主要入手点，掌握万有引力定律公式是基础．