Question

7．A、B两球形行星体积的比值$\frac{V_A}{V_B}=a$，质量的比值$\frac{M_A}{M_B}=b$，则绕A、B两行星做匀速圆周运动卫星的最小周期之比$\frac{T_A}{T_B}$等于（　　）

• A． $\sqrt{\frac{a}{b}}$
• B． $\sqrt{\frac{b}{a}}$
• C． $\sqrt{ab}$
• D． $\sqrt{\frac{1}{ab}}$

Answer 1

分析 卫星绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，求出周期的表达式，再判断什么时候周期最小即可求解．

解答 解：卫星绕行星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，则有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，则半径越小，周期越小，
所以当AB两个行星的卫星都绕行星表面做匀速圆周运动时，周期最小，
最小周期之比$\frac{T_A}{T_B}$=$\frac{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{A}}^{3}}{G{M}_{A}}}}{\sqrt{\frac{4{π}^{2}{{R}_{B}}^{3}}{G{M}_{B}}}}$
而$\frac{{V}_{A}}{{V}_{B}}=\frac{\frac{4}{3}π{{R}_{A}}^{3}}{\frac{4}{3}π{{R}_{B}}^{3}}=a$，$\frac{M_A}{M_B}=b$，解得：$\frac{T_A}{T_B}$=$\sqrt{\frac{a}{b}}$，故A正确．
故选：A

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力周期公式的直接应用，要求同学们知道在行星表面做匀速圆周运动时，周期最小，难度适中．