Question

2．如图甲，半圆弧ABC与四分之一圆弧DE是同一竖直平面内的两个半径相同的光滑轨道，其最高点E与最低点B各安装了一个压力传感器；CD连线与两轨道相切且竖直，间距为x．若在A点正上方的O点将一小球由静止释放，小球下落h后从A点切入轨道并从E点离开轨道．现改变CD间的距离，测得小球通过B、E两点的压力差△F_N与距离x的关系如图乙所示，不计空气阻力，取g=10m/s²，求：光滑轨道的半径R．

Answer 1

分析 应用动能定理求出B、E两点的速度关系，由牛顿第二定律求出小球在B、E点对轨道的压力差，然后根据图示图象求出轨道半径．

解答 解：从B到E过程，由动能定理得：-mg（2R+x）=$\frac{1}{2}$mv_E²-$\frac{1}{2}$mv_B²，
小球在圆弧轨道做圆周运动，由牛顿第二定律得：
在B点：F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，
在E点：F_E+mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$，
在两点的压力差：△F_N=F_B′-F_E′=F_B-F_E，
解得：△F_N=6mg+$\frac{2mg}{R}$x，
由图示：△F_N-x图象可知，
截距：b=6mg=6，解得：m=0.1kg，
斜率：k=$\frac{2mg}{R}$=$\frac{12-6}{6}$=1，轨道半径：R=2mg=2m；
答：光滑轨道的半径R为2m．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚小球的运动过程、求出图象的函数表达式是解题的关键，应用动能定理与牛顿第二定律可以解题．