Question

16．如图所示，正方形区域abcd边长为4L，O为ac的中点，e为ab的中点．在△abO区域（包括ab边）、△bcO区域（包括bc）分别有垂直纸面向外和向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．在△acd区域有水平向左的匀强电场，电场强度大小为E（E未知）．一个质量为m、电荷量为q的正粒子以速率v₀从e点垂直射入磁场，从ac边上的p点（p点未标注）进入电场．已知粒子在磁场中运动的半径为L，不计粒子重力及空气阻力，求：
（1）磁感应强度的大小B和粒子在磁场中运动的周期T；
（2）粒子从e点运动到p点的时间t；
（3）若粒子从P点进入电场后从aO边上某点再次进入磁场，直接到达a点，$\frac{E}{B}$多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出磁感应强度；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，求出粒子转过的圆心角，然后根据粒子做圆周运动的周期求出粒子的运动时间；
（3）粒子在电场中做类平抛运动、在磁场中做匀速圆周运动，应用类平抛运动规律与牛顿第二定律求出E与B，然后求出它们的比值．

解答 解：（1）由题意可知，粒子做圆周运动的轨道半径：r=L，
粒子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律有：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$，解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

O₁、O₂分别为该粒子在两磁场中运动的轨迹圆心，
粒子在aOb磁场中运动$\frac{π}{2}$圆弧从g点进入bOc磁场，
在bOc磁场中运动π从p点进入电场，粒子在磁场中运动的圆心角为$\frac{3}{2}$π，
粒子的运动时间：t=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$；
（3）粒子在电场中运动t₁从n点进入磁场，pn距离为s₁，速度v，
沿电场方向速度v_y，v与v_y夹角为θ，由运动学公式有：
s₁sin45°=$\frac{{v}_{y}}{2}$t₁，s₂cos45°=v₀t，
解得：v_y=2v₀，tanθ=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=0.5，v=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=$\sqrt{5}$v₀．
粒子在磁场中半径r，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\sqrt{5}$L，
由几何关系有：$\overline{an}$=2rsin（45°-θ），解得：$\overline{an}$=$\sqrt{2}$L，
$\overline{pc}$=$\sqrt{2}$L，s₁=$\overline{ac}-\overline{pc}-\overline{an}$=4$\sqrt{2}$L-2$\sqrt{2}$L=2$\sqrt{2}$L，解得：t₁=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
由运动学公式有：v_y=at₁=$\frac{qE}{m}$t₁，解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$，即：$\frac{E}{B}$=v₀．
答：（1）磁感应强度的大小B为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，粒子在磁场中运动的周期T为$\frac{2πL}{{v}_{0}}$；
（2）粒子从e点运动到p点的时间t为$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$；
（3）若粒子从P点进入电场后从aO边上某点再次进入磁场，直接到达a点，$\frac{E}{B}$为v₀．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，粒子运动过程复杂，是一道难题，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹是正确解题的关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、运动的合成与分解即可解题．