Question

10．两根平行金属导轨固定水平放置，相距d=0.5m，a、b间接一个电阻R，R=1.5Ω，在导轨上c、d两点处放一根质量m₁=100g的金属棒，bc长L=1m，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.3，金属棒与导轨接触点间电阻r=0.5Ω，金属棒用不可伸长的细绳通过定滑轮与放在水平台上的质量为m₂=120g小物块连接，如果甲所示，在金属导轨区域加一个竖直向上的匀强磁场，磁场随时间的变化关系如图乙所示，重力加速度g=10m/s²，求：

（1）0～1.0s内回路中产生的感应电动势大小；
（2）在磁场变化的全过程中，小物块没有离开水平台，则图乙中t₀的最大值；
（3）t₀时，撤去支撑小物块的平台，求小物块下降的最大速度．

Answer 1

分析 （1）由图乙读出$\frac{△B}{△t}$，根据法拉第电磁感应定律求解感应电动势大小．
（2）由I=$\frac{E}{R+r}$求出回路中的电流．当金属棒的静摩擦力达到最大值时，t₀达到最大值，根据平衡条件和安培力公式结合求出求出t₀的最大值．
（3）t₀时，撤去支撑小物块的平台，小物块先加速下降，后匀速运动，速度达到最大，根据平衡条件和安培力与速度的关系式求解最大速度．

解答 解：（1）由图乙读出：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{3-1}{1}$T/s=2 T/s
感应电动势为：E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}$Ld=2×1×0.5V=1V
（2）小物块没有离开水平台时，回路中电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{1}{1.5+0.5}$A=0.5A
当金属棒的静摩擦力达到最大值时，小物块刚要离开水平台，t₀达到最大值，则有：
BId=μm₁g+m₂g
可得：B=3T
由图知 t₀达到最大值为1s．
（3）t₀时，撤去支撑小物块的平台，小物块先加速下降，后匀速运动，速度达到最大，设为v．
根据平衡条件得：
m₂g=μm₁g+$\frac{{B}^{2}{d}^{2}v}{R+r}$
可得：v=$\frac{（{m}_{2}-μ{m}_{1}）g（R+r）}{{B}^{2}{d}^{2}}$=$\frac{（0.12-0.3×0.1）×10×2}{{3}^{2}×0．{5}^{2}}$=0.8m/s
答：（1）0～1.0s内回路中产生的感应电动势大小是1V；
（2）在磁场变化的全过程中，小物块没有离开水平台，图乙中t₀的最大值是1s；
（3）t₀时，撤去支撑小物块的平台，小物块下降的最大速度是0.8m/s．

点评 本题关键是分析和计算安培力，根据安培力与m₂重力的关系分析摩擦力的大小和方向．