Question

11．如图所示，回旋加速器D形盒的半径为R，用来加速质量为m、电量为q的质子，使质子由静止加速到能量为E后，由A孔射出．求：
（1）加速器中匀强磁场B的方向和大小；
（2）设两D形盒间距离为d，其间电压为U，电场视为匀强电场，质子每次经电场加速后能量增量，加速到上述能量所需回旋周数是多少；
（3）加速到上述能量所需时间为多少．

Answer 1

分析 （1、2）匀强磁场B的方向根据左手定则判断确定．回旋加速器中粒子在磁场中运动的周期和高频交流电的周期相等，当粒子从D形盒中出来时，速度最大，此时粒子运动的轨迹半径等于D形盒的半径；根据洛伦兹力提供向心力，求出最大动能．质子在一个周期内被加速两次，根据一次加速的能量与最大动量的关系，即可确定加速次数，从而得到回旋周数．
（3）加速到上述能量所需时间由两部分组成：一部分是磁场中运动时间，根据周期和圈数结合求解；另一部分是电场中运动，根据位移时间公式求解．

解答 解：（1）根据左手定则可知B的方向垂直于纸面向里．
根据qv_mB=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$，得最大动能E=$\frac{1}{2}$mv_m²=$\frac{{B}^{2}{R}^{2}{q}^{2}}{2m}$
因此加速器中匀强磁场B的大小：B=$\frac{\sqrt{2mE}}{qR}$；
（2）加速电压为U，则质子每次经电场加速后能量为E_K0=qU；
设共加速N次，则有：N=$\frac{E}{{E}_{k0}}$=$\frac{E}{qU}$；
由于每周加速两次，所以加速到上述能量所需回旋周数是 n=$\frac{N}{2}$=$\frac{E}{2qU}$
（3）根据T=$\frac{2πm}{qB}$，结合磁场B的大小，则有：T=πR$\sqrt{\frac{2m}{E}}$
质子在一个周期内，被加速两次，则在磁场中运动的时间为 t=nT=$\frac{E}{2qU}$•πR$\sqrt{\frac{2m}{E}}$=$\frac{πR}{qU}$$\sqrt{\frac{mE}{2}}$
质子在电场中运动的加速度大小为 a=$\frac{qU}{md}$
将电场中的运动看成一种总位移为x=Nd的匀加速直线运动，设电场中运动的总时间为t′，则
  Nd=$\frac{1}{2}at{′}^{2}$
解得 t′=$\frac{d}{qU}$$\sqrt{2mE}$
故加速到上述能量所需时间为 t_总=t+t′=$\frac{πR}{qU}$$\sqrt{\frac{mE}{2}}$+$\frac{d}{qU}$$\sqrt{2mE}$=（$\frac{πR+2d}{2qU}$）$\sqrt{2mE}$
答：
（1）加速器中匀强磁场B方向B的方向垂直于纸面向里，大小为$\frac{\sqrt{2mE}}{qR}$．
（2）加速到上述能量所需回旋周数是$\frac{E}{2qU}$．
（3）加速到上述能量所需时间为（$\frac{πR+2d}{2qU}$）$\sqrt{2mE}$．

点评 解决本题的关键知道当粒子从D形盒中出来时，速度最大．以及知道回旋加速器粒子在磁场中运动的周期和高频交流电的周期相等．