Question

10．如图甲所示，长度为l，垂直于纸面的两平行板CD、MN间存在匀强磁场，板间距离为板长的两倍，平行板右侧有一水平方向的匀强电场．t=0时刻，一质量为m、带电量为+q的粒子（不计重力），以初速度v₀由MN板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区，以垂直于DN边的方向进入电场区域，之后又回到磁场中，最后从平行板左端靠近板面的位置离开磁场，速度方向与初速度方向相反，上述仅l、m、q、v₀为已知量．

（1）若粒子在T_B时刻进入电场，求B₀的最大值；
（2）若粒子在T_B时刻进入电场，且B₀取最大值，求电场强度E及粒子在电场中向右运动的最大距离；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，求T_B满足的条件．

Answer 1

分析 （1）若粒子在T_B时刻进入电场，在磁场中是经过两段对称的圆弧轨迹后从垂直边界位置射出磁场，磁感应强度越大，轨道半径越小，经过$\frac{{T}_{B}}{2}$速度偏转角最大是90°，画出轨迹，结合几何关系得到轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解B₀的最大值；电场强度E及粒子在电场中向右运动的最大距离
（2）若粒子在T_B时刻进入电场，且B₀取最大值，粒子从垂直边界位置射出磁场，最后从平行板左端靠近板面的位置离开磁场；在电场中先向右减速后向左加速，运动时间为T_B的整数倍，根据动能定理列式求解电场强度E及粒子在电场中向右运动的最大距离；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，则运用洛伦兹力等于向心力列式求解轨道半径和周期；结合几何关系求解出每经过$\frac{{T}_{B}}{2}$的侧移量，求解出每经过$\frac{{T}_{B}}{2}$的经过的圆心角，最后联立求解即可．

解答 解：（1）若粒子在T_B时刻进入电场，画出轨迹，如图：
临界情况是经过$\frac{{T}_{B}}{2}$速度偏转角是90°，此时粒子运动半径具有最小值，为：
${R}_{0}=\frac{l}{2}$
根据$q{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{0}}$，解得：${B}_{0}=\frac{2m{v}_{0}}{ql}$
（2）粒子圆周运动周期：${T}_{0}=\frac{2π{R}_{0}}{{v}_{0}}=\frac{πl}{{v}_{0}}$
可知：${T}_{B}=\frac{{T}_{0}}{2}=\frac{πl}{2{v}_{0}}$
粒子在电场中运动的时间为：
t=$\frac{n{T}_{B}}{2}$ （n=1、2、3…）
由运动学知识可得：t=$\frac{2{v}_{0}}{a}$
由牛顿第二定律，有：qE=ma，解得：E=$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{nπql}$
d=$\frac{{v}_{0}}{2}×\frac{t}{2}=\frac{nπl}{16}$
（3）由B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$可知，R=2l
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}=\frac{4πl}{{v}_{0}}$
分析可知：2nRsinθ=l  （n=1、2、3…） 
$\frac{{T}_{B}^{′}}{2}=\frac{θ}{2π}T$
故T_B′=$\frac{4lθ}{{v}_{0}}$，且sinθ=$\frac{1}{4n}$
答：（1）若粒子在T_B时刻进入电场，B₀的最大值为$\frac{2m{v}_{0}}{ql}$；
（2）若粒子在T_B时刻进入电场，且B₀取最大值，电场强度E为$\frac{8m{v}_{0}^{2}}{nπql}$，粒子在电场中向右运动的最大距离$\frac{nπl}{16}$；
（3）若B₀=$\frac{m{v}_{0}}{2ql}$，T_B满足的条件为：T_B′=$\frac{4lθ}{{v}_{0}}$，且sinθ=$\frac{1}{4n}$（n=1、2、3…）．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动情况，要进行动态分析，画出轨迹，分析出临界轨迹，然后结合牛顿第二定律和时间关系列式分析．