Question

6．探月宇航员在距月球表面高h处绕月圆周运动的线速度大小为v₀，月球的半径为R，引力常量为G，求：
（1）月球的质量M；
（2）月球表面的重力加速度g_月；
（3）在月球表面发射卫星的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）飞船绕月圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解月球的质量M；
（2）在月球表面，物体的重力等于万有引力，据此列式求解月球表面的重力加速度g_月；
（3）在月球表面，卫星的重力提供向心力，据此列式求解卫星的第一宇宙速度v₁．

解答 解：（1）对飞船，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{v_0^2}{R+h}$
解得：M=$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$；
（2）对月面物体，有：mg_月=$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}$，
其中：M=$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$，
故：${g}_{月}=\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$；
（3）对近月卫星，有：
mg_月=$m\frac{v_1^2}{R}$
其中：${g}_{月}=\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$，
故${v}_{1}={v}_{0}\sqrt{\frac{（R+h）}{R}}$；
答：（1）月球的质量为$\frac{{v}_{0}^{2}（R+h）}{G}$；
（2）月球表面的重力加速度为$\frac{（R+h）{v}_{0}^{2}}{{R}^{2}}$；
（3）在月球表面发射卫星的第一宇宙速度为${v}_{0}\sqrt{\frac{（R+h）}{R}}$．

点评 本题关键是明确卫星的向心力来源，根据牛顿第二定律列式分析，同时要明确在星球表面重力等于万有引力，不难．