题目内容

17．如图甲所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿y轴正方向的匀强电场，右侧有一个以点（3L，0）为中心、边长为2L的正方形区域，其边界ab与x轴平行，正方形区域与x轴的交点分别为M、N．在该正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，现有一质量为m，带电量为e的电子，从y轴上的A点以速度v0沿x轴正方向射入电场，飞出电场后从M点以与x轴夹角为30°的方向进入正方形区域，并恰好从d点射出．
（1）求匀强电场E的大小；
（2）求匀强磁场B的大小；
（3）若当电子到达M点时，在正方形区域换加如图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，求正方形磁场区域磁感应强度B0大小的表达式、磁场变化周期T与B0的关系式．

分析 （1）电子在电场中作类平抛运动，根据水平位移和竖直位移，由位移公式和牛顿第二定律结合求解匀强电场的场强；
（2）画出电子在磁场中的运动轨迹，由几何关系求出轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力列式，求解B的大小．
（3）在磁场变化的半个周期内电子的偏转角为60°，由几何知识得到在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移等于电子的轨迹半径R，由题意，粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：nR=2L，由牛顿第二定律得到半径R=$\frac{mv}{e{B}_{0}^{\;}}$，联立得到磁感应强度B0的大小表达式．

解答 解：（1）电子飞出电场的方向与x轴成30°

根据几何关系$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}=tan30°$             
竖直分速度  ${v}_{y}^{\;}=\frac{eE}{m}t$             
水平位移 $L={v}_{0}^{\;}t$
解得：$E=\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$
（2）设电子进入磁场的速度为v，则$\frac{{v}_{0}^{\;}}{v}=cos30°$
由几何关系得$\frac{\frac{L}{2}}{R}=cos30°$
根据牛顿第二定律得$Bev=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$B=\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{eL}$
（3）若电子从N点飞出，在磁场中的运动如图所示

又根据边角关系可得
nR=2L（n=1，2，3…）
$n\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{e{B}_{0}^{\;}\sqrt{3}}=2L$（n=1、2、3…）
整理得${B}_{0}^{\;}=n\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{3eL}$（n=1、2、3…）
答：（1）匀强电场E的大小$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{2}}{eL}$；
（2）匀强磁场B的大小$\frac{2m{v}_{0}^{\;}}{eL}$；
（3）若当电子到达M点时，在正方形区域换加如图乙所示周期性变化的磁场（以垂直于纸面向外为磁场正方向），最后电子运动一段时间后从N点飞出，正方形磁场区域磁感应强度B0大小的表达式、磁场变化周期T与B0的关系式${B}_{0}^{\;}=n\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}^{\;}}{3eL}$（n=1、2、3…）．

点评 电子在电场中，关键是将粒子的运动沿着水平方向和竖直方向正交分解，然后根据牛顿运动定律和运动学公式列式分析求解；在磁场中，关键要画出轨迹图分析，特别是第三小题，要抓住周期性，根据几何关系求解电子的半径满足的条件．

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