Question

10．如图所示为某种质谱仪的结构示意图．其中加速电场的电压为U，静电分析器中与圆心O₁等距各点的电场强度大小相同，方向沿径向指向圆心O₁；磁分析器中在以O₂为圆心、圆心角为90°的扇形区域内，布着方向垂直于纸面的匀强磁场，其左边界与静电分析器的右边界平行．由离子源发出一质量为m、电荷量为q的正离子（初速度为零，重力不计），经加速电场加速后，从M点沿垂直于该点的场强方向进入静电分析器，在静电分析器中，离子沿半径为R的四分之一圆弧轨迹做匀速圆周运动，并从N点射出静电分析器．而后离子由P点沿着既垂直于磁分析器的左边界，又垂直于磁场方向射入磁分析器中，最后离子沿垂直于磁分析器下边界的方向从Q点射出，并进入收集器．测量出Q点与圆心O₂的距离为d．
（1）试求静电分析器中离子运动轨迹处电场强度E的大小；
（2）试求磁分析器中磁场的磁感应强度B的大小和方向；
（3）如果离子的质量为0.9m，电荷量仍为q，其它条件不变，那么，这个离子射出电场和射出磁场的位置是否变化．通过分析和必要的数学推导，请你说明．

Answer 1

分析 运用动能定理研究加速电场，求出进入静电分析器的速度为v．
离子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，列出等式．
在静电分析器中，离子在电场力作用下做匀速圆周运动，列出等式．

解答 解：（1）离子在静电分析器中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有qE=m$\frac{{v}^{2}}{R}$①
设离子进入静电分析器时的速度为v，离子在加速电场中加速的过程中，由动能定理有qU=$\frac{1}{2}$mv²②
由①②解得E=$\frac{2U}{R}$③
（2）离子在磁分析器中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$④
由题意可知，圆周运动的轨道半径
r=d                          ⑤
由②④⑤式解得B=$\frac{1}{d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$ ⑥
磁场方向为垂直纸面向外．                        
（3）设质量为0.9m的离子经加速电场加速后，速度为v′，由动能定理可得qU=$\frac{1}{2}$×0.9mv²⑦
由②⑦式可得0.9mv'²=mv²⑧
新离子进入电场时与O₁的距离仍为R，新离子如果在电场中做半径为R的匀速圆周运动，
所需要的向心力F_向=0.9m$\frac{v{′}^{2}}{R}$ ⑨
由①⑧⑨式可得F_向=qE
即该离子所受电场力，恰好等于它若做匀速圆周运动的向心力，因此这个离子仍然在静电分析器中做半径为R的匀速圆周运动，仍从N点射出．
由②④式可知，离子在磁分析器中做匀速圆周运动的半径r=$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{1.8mU}{q}}$=$\sqrt{0.9}d$，
与离子的质量有关，所以不能沿原来的轨迹从Q点射出磁场．  
答：（1）静电分析器中离子运动轨迹处电场强度$\frac{2U}{R}$；
（2）磁分析器中磁场的磁感应强度B的大小是$\frac{1}{d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，方向垂直纸面向外；
（3）不能沿原来的轨迹从Q点射出磁场．

点评 了解研究对象的运动过程是解决问题的前提，根据题目已知条件和求解的物理量选择物理规律解决问题．
找出圆周运动所需的向心力，列出等式解决问题．