Question

4．如图所示为一方向垂直纸面向里的半圆形匀强磁场区域，O为其圆心，AB为其直径．足够长的收集板MN平行与AB且与半圆形区域相切于P点．O点放置一粒子源，可在OA到OB之间180°范围内向磁场内连续射入速率为v₀的带负电粒子．已知AB=2L，粒子的质量均为m，带电荷量均为q，不计粒子的重力以及相互作用．
（1）若要使所有粒子均不能被收集板收集，所加磁场需满足的条件
（2）若所加磁场的磁感应强度为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子击中区域上靠近M端距P点的最远距离
（3）若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，求所加磁场的磁感应强度．

Answer 1

分析 （1）由粒子不能被收集求得运动半径范围，进而根据洛伦兹力作向心力求得磁感应强度范围；
（2）由磁感应强度求得粒子运动半径，再分析粒子到达最远处的条件，然后由几何关系求得距离；
（3）分析得到粒子能被收集到的发射速度方向的范围，再根据临界粒子的运动状态求得粒子运动的半径，进而求得磁感应强度．

解答 解：（1）由左手定则可知粒子右偏，那么，从O点射出的粒子若从AP边界离开磁场，则必打在收集板上被收集，
所以，要使所有粒子均不能被收集板收集，则粒子直径2R＜L；
粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力作向心力，所以有，$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得：$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
所以，要使所有粒子均不能被收集板收集，$\frac{2m{v}_{0}}{Bq}＜L$，则$B＞\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若所加磁场的磁感应强度为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}=L$；
如图所示，从AP边界射出的粒子都转过60°，出射速度与OA方向的夹角为θ+60°，
，
那么，θ越小，粒子出射位置在AP上越靠近A，出射速度与OA方向的夹角越小，则粒子在收集板上距P点越远；
所以，当θ=0时，收集板上被粒子击中位置为靠近M端距P点的最远位置；
如图所示，粒子离开磁场后做匀速直线运动，所以，由几何关系可知：粒子打在收集板上的点距离P点的距离为$\frac{L}{cos30°}=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$，
，
所以，若所加磁场的磁感应强度为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子击中区域上靠近M端距P点的最远距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$；
（3）若粒子运动半径$r＜\frac{L}{2}$，则收集板收集不到粒子；若粒子运动半径$r=\frac{1}{2}L$，则收集板只能收集到沿OA方向发射的粒子；所以，$r＞\frac{1}{2}L$；
当$r＞\frac{1}{2}L$时，出射点在AP上的粒子都能收集到，出射点在PB上的粒子出射速度方向斜向右上才能被收集板收集到；
若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，则当粒子出射点在PB上，出射速度方向平行于OB时，粒子在O点的速度方向与OB之间的夹角为$（1-\frac{5}{6}）×180°=30°$；
如图所示，

则$r=\frac{L}{cos60°}=2L$；
所以，由洛伦兹力作向心力可得：$B′{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$，
则有：$B′=\frac{m{v}_{0}}{qr}=\frac{m{v}_{0}}{2qL}$；
答：（1）若要使所有粒子均不能被收集板收集，所加磁场B需大于$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（2）若所加磁场的磁感应强度为$\frac{m{v}_{0}}{qL}$，收集板上被粒子击中区域上靠近M端距P点的最远距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}L$；
（3）若恰有$\frac{5}{6}$的粒子能被收集板收集到，则所加磁场的磁感应强度为$\frac{m{v}_{0}}{2qL}$；．

点评 在求带电粒子在磁场中的运动问题中利用几何关系时要注意粒子运动速度方向与弦线方向不一致，要严格按照粒子速度与径向垂直求解．